Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác.

Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách:

– Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.

– Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}.$ Chứng minh G là trọng tâm của ΔBCD.

Hướng dẫn giải:

Vì AD = AB nên A là trung điểm BD.

Suy ra CA là đường trung tuyến của ΔBCD.

Mà $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}$ suy ra G là trọng tâm của ΔBCD.

Ví dụ 2. Cho ΔABC với đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA, trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = CB. Chứng minh C là trọng tâm của ΔAEM.

Hướng dẫn giải:

Ta có DE = DA nên D là trung điểm của AE

Do đó MD là đường trung tuyến của tam giác AEM.

Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của BC

Do đó BC = 2CD. Mà CM = CB nên CM = 2CD.

Ta có điểm C nằm trên đường trung tuyến MD của tam giác AEM và CM = 2CD nên C là trọng tâm của ΔAEM.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ΔABC có đường trung tuyến AD, trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F sao cho AE = EF = FD. Điểm F là:

A. Trọng tâm của ΔABC;

B. Trọng tâm của ΔABE;

C. Trọng tâm của ΔABD;

D. Cách đều ba cạnh của ΔABC.

Bài 2. Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BM}$ và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm của CK, GE cắt AC tại I. Điểm I là trọng tâm của tam giác nào?

A. ΔKBC;

B. ΔABC;

C. ΔKMC;

D. ΔKGC.

Bài 3. Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho $\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AD}}=\frac{2}{3}.$Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{EG}}=2;$

B. $\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{CG}}=\frac{2}{3};$

C. E là trung điểm của cạnh AC;

D. F là trung điểm của cạnh AB.

Bài 4. Cho hình vẽ như bên dưới. Biết AM = 12 cm.

Độ dài của đoạn thẳng AG là

A. 10 cm;

B. 4 cm;

C. 6 cm;

D. 8 cm.

Bài 5. Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 2MC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Gọi E là giao điểm của AM và BD. Khi đó điểm M là

A. Trọng tâm của ΔABD;

B. Trọng tâm của ΔABC;

C. Trọng tâm của ΔABE;

D. Cách đều ba đỉnh của ΔABD.

Bài 6. Cho ΔABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tia AG cắt BC tại M. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm;

B. Hai tam giác ABC và AEC có cùng trọng tâm;

C. Hai tam giác ABC và ABF có cùng trọng tâm;

D. Hai tam giác AEM và AMF có cùng trọng tâm.

Bài 7. Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BM}$ và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I. Số thích hợp để điền vào chỗ trống CI = … AC là:

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2.

Bài 8. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. BI > IK = KD;

B. BI = IK = KD;

C. BI = IK < KD;

D. BI > IK > KD.

Bài 9. Cho tam giác ABC. Vẽ tia Bx // AC (sao cho $\widehat{\mathrm{xBA}}$ và $\widehat{\mathrm{BAC}}$ là một cặp góc so le trong). Lấy điểm D ∈ Bx và điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Hai tam giác nào sau đây có cùng trọng tâm?

A. ΔABC và ΔABE;

B. ΔABE và ΔADE;

C. ΔAME và ΔABE;

D. ΔABC và ΔADE.

Bài 10. Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau:

(I) $\mathrm{AD}+\mathrm{BE}+\mathrm{CF}>\frac{3}{4}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}\right);$

(II) AD + BE + CF < AB + BC + AC.

Chọn khẳng định đúng:

A. Chỉ (I) đúng;

B. Chỉ (II) đúng;

C. Cả (I) và (II) đều đúng;

D. Cả (I) và (II) đều sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

• Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều

• Nhận biết đường phân giác và đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

• Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng

• Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---