Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng.

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm) hay ba điểm thẳng hàng, ta có thể vận dụng các định lí về các đường thẳng đồng quy của tam giác:

+ Các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

+ Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

+ Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

Chú ý:

⦁ Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.

⦁ Trong một tam giác cân, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường cao của tam giác đó.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC.

Suy ra AM cũng là đường trung trực của BC (1)

Xét ∆ABC cân tại A có đường trung trực của AB và AC cắt nhau ở E.

Suy ra E thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2), suy ra ba điểm A, E, M thẳng hàng.

Ví dụ 2.Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC. Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Chứng minh AK, DK, BC đồng quy

Hướng dẫn giải:

Vì AB ⊥ AC và DK // AB nên DK ⊥ AC.

Xét ∆ADC có: DK ⊥ AC, CH ⊥ AD và DK cắt CH tại K nên K là trực tâm ∆ADC.

Suy ra AK ⊥ CD.

Do đó ba đường thẳng AK, DK, BC đồng quy.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ba tam giác cân phân biệt ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Vị trí của ba điểm A, D và E là?

A. thẳng hàng;

B. trùng nhau;

C. nằm trên đáy BC;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ đường thẳng d vuông góc AB tại B, kẻ đường thẳng d’ vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng d và d’ giao nhau giao tại D. Cho các khẳng định sau:

(I) A nằm trên đường trung trực của BC;

(II) Ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. Chỉ có (I) đúng;

B. Chỉ có (II) đúng;

C. Cả (I) và (II) đều đúng;

D. Cả (I) và (II) đều sai.

Bài 3. Cho ∆ABC vuông ở A, gọi D là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. ∆DAK = ∆DCK;

B. AD là đường trung trực của BC;

C. Hai đường trung trực của AB và AC vuông góc với nhau;

D. Ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Cho các phát biểu sau:

(I) BM là đường trung trực của AD;

(II) AK, DH, BM đồng quy tại một điểm;

(III) AK // BC.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Chỉ (I) và (II) là đúng;

B. Chỉ (II) và (III) là đúng;

C. Chỉ (I) và (III) là đúng;

D. Cả (I), (II) và (III) đều đúng.

Bài 5. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Kẻ AC ⊥ Oy, BD ⊥ Ox (C ∈ Oy, D ∈ Ox). Đường thẳng vuông góc với Ox tại A và đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. OM, AC, BD đồng quy;

B. OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

C. Cả A và B đều đúng.

D. Cả A và B đều sai.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE. Vẽ CH ⊥ DB. Cho các khẳng định sau:

(I) Ba đường thẳng BA, DE, CH đồng quy;

(II) Đường thẳng DE đi qua giao điểm của AB và CH;

(III) DE ⊥ BC.

Có bao nhiêu khẳng định sai?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AH (H ∈ BC). Đường trung trực của cạnh AB cắt đường AH tại O. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm E và F sao cho: AE + AF = AB. Hỏi E và F ở vị trí nào để O là trung điểm của EF?

A. E, O, F thẳng hàng;

B. E, O, F cách đều ba cạnh của tam giác;

C. E, O, F cách đều ba đỉnh của tam giác.

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 8. Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Q cách đều ba đỉnh của ∆NPR;

B. Q cách đều ba cạnh của ∆NPR;

C. MN, PQ và RQ đồng quy.

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. BM ⊥ HK;

B. Ba đường BM, DH, AK đồng quy;

C. Cả A và B đều đúng;

D. Cả A và B đều sai.

Bài 10. Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Ba điểm A, K, O thẳng hàng;

B. AK là đường trung trực của BC;

C. AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết đường trung trực, đường cao của tam giác

• Xác định trực tâm của tam giác

• Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy

• Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---