Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy ta có thể vận dụng sự đồng quy của ba đường cao: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho ∆ABC cân tại A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD ở H. Chứng minh CH ⊥ AB.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến, suy ra AD cũng là đường cao.

Mà BE là đường cao của ∆ABC và BE cắt AD tại H.

Do đó H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra CH ⊥ AB.

Ví dụ 2.Cho ∆MNP vuông tại M. Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR ⊥ NP (R ∈ NP). Gọi O là giao điểm của các đường thẳng PM và RQ. Chứng minh rằng PQ ⊥ ON.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ONP có: NM ⊥ PO, OR ⊥ PN.

Mà NM giao OR tại Q.

Suy ra Q là trực tâm của ∆PON.

Do đó PQ ⊥ ON.

Ví dụ 3. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M ≠ A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Gọi D là giao điểm của AB và CP. Chứng minh ba đường thẳng AB, MN, CP đồng quy.

Hướng dẫn giải:

• Xét ∆DBC có CA, BP là hai đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm của ∆DBC.

• Vì M là trực tâm của ∆DBC nên DM ⊥ BC.

• Ta có DM ⊥ BC (chứng minh trên).

Mà MN ⊥ BC (giả thiết).

Suy ra D, M, N thẳng hàng.

• Ta có:

+) D ∈ MN (do D, M N thẳng hàng);

+) D ∈ AB (giả thiết);

+) D ∈ CP (giả thiết).

Suy ra AB, MN, CP cùng đồng quy tại điểm D.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trên đường thẳng d có ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Lấy điểm M nằm ngoài đường thẳng d sao cho MJ vuông góc với d tại J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt MJ tại N. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. NJ ⊥ MK;

B. MN ⊥ IN;

C. KN ⊥ MI;

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 2. Cho ∆ABC vuông cân tại A, lấy E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Cho các khẳng định sau:

(I) ∆ADE vuông cân tại A.

(II) E là trực tâm của ∆BCD.

(III) BE ⊥ CD.

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 3. Cho ∆MNP cân tại M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở K. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. NK ⊥ MP;

B. MK ⊥ NP;

C. K là trực tâm của tam giác MNP;

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC. Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. DK ⊥ AC;

B. AK ⊥ BD;

C. AK, DK, BC đồng quy;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, lấy I là trung điểm AC. Gọi K và D thứ tự là trung điểm của AH và HC. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC;

B. KD // AC;

C. BK ⊥ AD;

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 6. Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AH, qua M kẻ đường thẳng song song với AB. Gọi K là giao điểm của MN và AH.

Cho các khẳng định sau:

(I) CM là đường cao của ∆ANC;

(II) CM ⊥ AN;

(III) NK, AH và CM đồng quy tại M.

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 3;

B. 2;

C. 1;

D. 0.

Bài 7. Cho tam giác LMN nhọn và điểm S nằm trong tam giác, LS cắt MN tại P, MS cắt LN tại Q. Nếu LP ⊥ MN, MQ ⊥ LN thì vị trí của NS và ML là

A. NS // ML;

B. NS ⊥ ML;

C. NS ≡ ML;

D. Không xác định.

Bài 8. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Ba đường AE, DM và BC đồng quy tại C;

B. AE ⊥ BD;

C. BC ⊥ AD;

D. Cả A, B, C đều là khẳng định sai.

Bài 9. ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC. Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AK ⊥ CD;

B. CH ⊥ AD;

C. DK ⊥ AC.

D. Cả A, C đều sai.

Bài 10. Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Gọi S là giao điểm PQ và RN.Cho các khẳng định sau:

(I) PS ⊥ NR;

(II) MN, PS và RQ đồng quy tại Q.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Chỉ (I) sai;

B. Chỉ (II) sai;

C. Cả (I), (II) đúng;

D. Cả (I), (II) sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết đường trung trực, đường cao của tam giác

• Xác định trực tâm của tam giác

• Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng

• Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---