Tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác lớp 7 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác lớp 7 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác.

Tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác lớp 7 (chi tiết nhất)

1. Tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác

Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm (hay cùng đi qua một điểm, hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chú ý: 

⦁ Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

⦁ Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

2. Ví dụ minh họa về tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác

Ví dụ 1. Trong tam giác ABC (hình vẽ), các đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi qua điểm G (hay còn gọi là đồng quy tại điểm G).

Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\frac{AG}{AD}=\frac{BG}{BE}=\frac{CG}{CF}=\frac{2}{3}.$ 

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G. Đường thẳng AG cắt BC tại M (hình vẽ). Chứng minh rằng M là trung điểm của cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì G ∈ AM nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vậy M là trung điểm của cạnh BC.

3. Bài tập về tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác

Bài 1. Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Bài 2. Trong hình vẽ bên dưới, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.

Hãy tính các tỉ số:

a) $\frac{GM}{AM}.$ 

b) $\frac{GM}{AG}.$ 

c) $\frac{AG}{GM}.$  

Bài 3. Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đường trung tuyến trong tam giác là gì

• Tính chất của ba đường phân giác trong tam giác

• Trọng tâm là gì

• Đường trung trực trong tam giác là gì

• Đường cao trong tam giác là gì

• Tính chất của ba đường trung trực trong tam giác

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---