Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác.

Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

a) Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau.

b) Tính chất

+ Nếu ∆ABC cân tại A thì $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$;

+ Xét ∆ABC, nếu $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ thì ∆ABC cân tại A.

Ta sẽ sử dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để suy ra hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau. Từ đó ta sẽ có thêm dữ kiện để chứng minh sự bằng nhau của hai tam giác, hai đoạn thẳng, hai góc.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = EC. Gọi M, N là hình chiếu của D, E trên AB, AC. Chứng minh rằng ∆AMD = ∆ANE.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

BD = EC (giả thiết).

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{ACE}}$ (∆ABC cân tại A).

AB = AC (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ và AD = AE (cặp góc và cặp cạnh tương ứng).

Xét ∆AMD và ∆ANE, có:

$\widehat{\mathrm{AMD}}=\widehat{\mathrm{ANE}}=90°$.

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (chứng minh trên).

AD = AE (chứng minh trên).

Do đó ∆AMD = ∆ANE (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ 2. Cho ∆ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Từ M, N, kẻ đường thẳng vuông góc với AC và AB, hai đường thẳng này cắt BC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) ∆BNE = ∆CMD.

b) BD = CE.

Hướng dẫn giải:

a) Vì N là trung điểm AB nên AB = 2BN (1).

Vì M là trung điểm AC nên AC = 2CM (2).

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra BN = CM.

Xét ∆BNE và ∆CMD, có:

$\widehat{\mathrm{BNE}}=\widehat{\mathrm{CMD}}=90°$

BN = CM (chứng minh trên)

$\widehat{\mathrm{NBE}}=\widehat{\mathrm{MCD}}$ (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆BNE = ∆CMD (góc – cạnh – góc).

b) Ta có ∆BNE = ∆CMD (chứng minh trên).

Suy ra BE = CD.

Vì B, D, C thẳng hàng và B nằm giữa C, D nên ta có CD = BC + BD.

Vì B, E, C thẳng hàng và C nằm giữa B, E nên ta có BE = BC + CE.

Từ BE = CD, ta suy ra BC + CE = BC + BD.

Do đó CE = BD.

Vậy CE = BD.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ∆ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Kết luận nào sau đây đúng?

A. $\widehat{\mathrm{BMD}}=\widehat{\mathrm{CME}}$;

B. AD = AE;

C. BD = CE;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 2. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho AD = AE. Kết luận nào sau đây đúng?

A. $\widehat{\mathrm{BDC}}<\widehat{\mathrm{BEC}}$;

B. BE = CD;

C. BD > EC;

D. $\widehat{\mathrm{ABE}}\ne \widehat{\mathrm{ACD}}$.

Bài 3. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Cho các khẳng định sau:

(I) ∆ABM = ∆ACN.

(II) ∆BMC = ∆CNB.

A. Chỉ (I) đúng;

B. Chỉ (II) đúng;

C. Cả (I), (II) đều sai;

D. Cả (I), (II) đều đúng.

Bài 4. Cho ∆ABC có $\hat{A}=100°$ và $\hat{B}=\hat{C}$. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = AN. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // BC;

B. MN // AB;

C. MN // AC;

D. $\widehat{\mathrm{AMN}}<\widehat{\mathrm{ANM}}$

Bài 5. Cho ∆ABC cân tại A có $\hat{A}<90°$. Kẻ BD ⊥ AC. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. DE ⊥ BC;

B. CE ⊥ BC;

C. CE ⊥ AB;

D. CE ⊥ AC.

Bài 6. Cho ∆ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB và AC lấy điểm D và E sao cho AD = AE. Vẽ đường trung tuyến AM của ∆ABC. Tia đối của tia AM cắt DE tại H. Kết luận nào sau đây sai?

A. EB > DC;

B. $\widehat{\mathrm{AHD}}=90°$;

C. $\widehat{\mathrm{BEA}}=\widehat{\mathrm{CDA}}$;

D. $\widehat{\mathrm{DAH}}=\widehat{\mathrm{HAE}}$.

Bài 7. Cho ∆ABC cân tại A có $\hat{A}=36°$. Tia phân giác $\hat{B}$ cắt cạnh AC tại D. Khẳng định nào sau đây sai.

A. DA = DB;

B. DA = BC;

C. DA = DB = BC;

D. DB > BC.

Bài 8. Cho ∆ABC cân tại A, gọi M là trung điểm BC. Trên cạnh AB lấy điểm D. Từ D kẻ đường vuông góc với AM tại K và kéo dài cắt cạnh AC tại E. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AD > AE;

B. AD = AE;

C. AD < AE;

D. DK > KE.

Bài 9. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C cùng phía đối với xy). Kẻ BD ⊥ xy, CE ⊥ xy. Khẳng định nào sau đây sai?

A. ∆BAD = ∆ACE;

B. DE = DB + CE;

C. DB > AE;

D. DA = EC.

Bài 10. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi I là trung điểm BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh DI lấy điểm E sao cho I là trung điểm DE. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. BD = CE;

B. CB là tia phân giác $\widehat{\mathrm{ACE}}$;

C. BD > CE;

D. Cả hai đáp án A, B đều đúng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết và chứng minh tam giác cân, tam giác đều

• Nhận biết và chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---