15 Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (có đáp án)

Bài viết 15 Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án gồm các dạng bài tập về Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh lớp 8 biết cách làm bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác.

15 Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (có đáp án)

1. Phương pháp giải

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng

– Áp dụng tính chất của đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.

– Áp dụng định lý Pythagore.

Dạng 2. Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích của hai tam giác

- Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.

- Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.  Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm và CA = 6 cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở E. Tính độ dài các đoạn EB, EC.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

Hay $\frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}$

Do đó $EB=\frac{35}{11}cm; EC=\frac{42}{11}cm$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$ cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc $\widehat{AMC}$ cắt các cạnh AC ở E. Chứng minh DE // BC.

Lời giải:

Từ giả thiết AM là trung tuyến, đặt BM = MC = a.

Áp dụng tính chất của đường phân giác MD và ME vào hai tam giác AMB và AMC, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{AD}{DB}=\frac{AM}{MB}=\frac{AM}{a}\\ \frac{AE}{EC}=\frac{AM}{MC}=\frac{AM}{A}\end{array}\right.$, do đó $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$.

Điều này chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên DE // BC (theo định lý Thales đảo).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho Δ ABC vuông tại A có AB = 3 cm, BC = 5 cm, AD là đường phân giác của Δ ABC. Chọn phát biểu đúng?

   A. BD = 20/7 cm; CD = 15/7 cm

   B. BD = 15/7 cm; CD = 20/7 cm

   C. BD = 1,5 cm; CD = 2,5 cm

   D. BD = 2,5 cm; CD = 1,5 cm

Lời giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AC = √ (BC² - AB²) = √ (5² - 3²) = 4( cm )

Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có: DB/DC = AB/AC hay DB/AB = DC/AC

Khi đó ta có: DB/DC = AB/AC ⇒ DB/(DB + DC) = AB/(AB + AC)

hay DB/5 = 3/(3 + 4) ⇒ DB = 15/7 cm; DC = 20/7 ( cm )

Chọn đáp án B.

Bài 2: Cho Δ ABC có BD là đường phân giác, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AC = 6cm. Chọn phát biểu đúng?

   A. DA = 8/3 cm, DC = 10/3 cm

   B. DA = 10/3 cm, DC = 8/3 cm

   C. DA = 4 cm, DC = 2 cm

   D. DA = 3,5 cm, DC = 2,5 cm

Lời giải:

BD là đường phân giác của Δ ABC

Ta có: DA/DC = AB/BC ⇔ DA/(DA + DC) = AB/(AB + BC)

Hay DA/6 = 8/(8 + 10) ⇒ DA = (6.8)/18 = 8/3 ( cm ); DC = 10/3 (cm)

Chọn đáp án A.

Bài 3: Cho Δ ABC có Aˆ = 90^o, AD là đường phân giác. Chọn phát biểu đúng?

   A. 1/AD + 1/AC = 1/AB

   B. 1/AB + 1/AC = 1/AD

   C. 1/AB + 1/AC = 2/AD

   D. 1/AB + 1/AC + 1/AD = 1

Lời giải:

Δ ABC có AD là đường phân giác

Ta có: DB/DC = AB/AC và DC/DB = AC/AB

+ AC là phân giác góc ngoài của Δ ABD

Có: AD/AB = DC/BC

+ AB là phân giác góc ngoài của Δ ADC

Có: AD/AC = BD/BC

Khi đó ta có: AD/AB + AD/AC = DC/BC + DB/BC = 1 ⇒ 1/AB + 1/AC = 1/AD

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho Δ ABC. Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. Tính kết quả đúng của độ dài cạnh x ?

   A. x = 14   B. x = 12

   C. x = 8   D. x = 6

Lời giải:

Δ ABC có AD là phân giác trong của góc A.

Ta có: DB/DC = AB/AC ⇒ DB/(BC - DB) = AB/AC

Hay 9/(21 - 9) = 6/x ⇒ x = (12.6)/9 = 8

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho Δ ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác BACˆ cắt BC tại D. Tỉ số diện tích của Δ ABD và Δ ACD là?

   A. 1/4   B. 1/2

   C. 3/4   D. 1/3

Lời giải:

Đường phân giác BACˆ cắt BC tại D

Ta có: DB/DC = AB/AC = 15/20 = 3/4

Chọn đáp án C.

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 4cm ; AC = 9cm.Gọi AD là tia phân giác của BACˆ. Tính tỉ số CD/BD

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ABC ta có:

Chọn đáp án B

Bài 7: Cho tam giác ABC có AC = 4cm, AB = 6cm và BC = 8cm. Gọi AD là tia phân giác của BACˆ. Tính BD?

   A. 4,2 cm     B. 4,8cm

   C. 5,2cm     D. 5,4cm

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 10cm . Gọi AD là tia phân giác của góc BACˆ. Tính CD?

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC nên:

Suy ra : DB = DC.

Mà DB + DC = BC nên:

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho tam giác ABC có AD là tia phân giác của góc BACˆ. Biết AB = 3cm, BD = 4cm, CD = 6cm. Tính AC?

   A. 4cm     B. 5cm

   C. 6cm     D. 4,5cm

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Suy ra:

Chọn đáp án D

Bài 10: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và đường phân giác AD của góc BACˆ.

Biết AB = 12 cm; AC = 8cm và BC = 15cm. Tính tỉ số BM/BD.

Lời giải:

Do M là trung điểm của BC nên:

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Suy ra:

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Suy ra:

Do đó:

Chọn đáp án A

Bài 11: Cho tam giác ABC, AC = 2AB, AD là đường phân giác của tam giác ABC, khi đó ?

Lời giải

Đáp án cần chọn là: D

Bài 12: Cho tam giác ABC, AC = 2AB, AD là đường phân giác của tam giác ABC. Xét các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:

A. 0    

B. 3    

C. 1    

D. 2

Lời giải

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên:

Vậy chỉ có 2 khẳng định đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. Khi đó AD = ?

A. 3cm

B. 6cm

C.9cm

D. 12cm

Lời giải

Mà tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 15cm

Đáp án cần chọn là: C

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Độ dài AD là:

A. 1,5 

B. 3    

C. 4,5 

D. 4

Lời giải

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago có: BC² = AB² + AC²

Đáp án cần chọn là: B

Bài 15: Cho tam giác ABC, , AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H Є BC). Tia phân giác của  cắt HB tại D. Tia phân giác của  cắt HC tại E. Tính DH?

A. 4cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

⇔ 15² + 20² = BC² ⇒ BC = 25

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + HB²

⇔ 15² = 12² + HB²

⇒ HB² = 81 ⇒ HB = 9

⇒ HC = BC – HB = 25 – 9 = 16

Vì AD là phân giác của tam giác ABH nên:

Đáp án cần chọn là: A

Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 8 có đáp án chi tiết hay khác:

• Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác
• Lý thuyết Khái niệm hai tam giác đồng dạng
• Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng
• Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của tam giác
• Bài tập Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---