Cách tính độ dài đoạn thẳng trong hình thang (hay, chi tiết)

Với Cách tính độ dài đoạn thẳng trong hình thang hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong hình thang (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải. 

Sử dụng: 

• Tính chất về cạnh bên và đường chéo của hình thang cân: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.
• Trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau.
• Áp dụng định lý Py – ta -go.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính chiều cao của hình thang cân ABCD (AB//CD), biết rằng cạnh bên AD = 5cm, các cạnh đáy AB = 6cm và CD = 14cm.

Giải

 

Kẻ  thì AH//BK nên hình thang ABKH có hai cạnh bên song song.

Áp dụng nhận xét về hình thang có hai cạnh bên song song vào hình thang ABKH, ta được: AH = BK, HK = AB = 6cm.

Xét hai tam giác vuông ADH và BCK có:

AH = BK (cmt)

AD = BC (ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔADH= ΔBCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) 

Áp dụng định lí Py –ta–go vào tam giác ADH vuông tại H, thu được:

Vậy chiều cao hình thang cân là 3 cm.

Ví dụ 2. Một hình thang cân có đáy lớn dài 2,7 m. Cạnh bên dài 1 m, góc tạo bởi cạnh bên và đáy lớn bằng 60⁰ . Tính độ dài đáy nhỏ.

Giải

Giả sử ta có hình thang cân ABCD có đáy lớn DC = 2,7m, cạnh bên BC = 1m và

 

Kẻ BE//AD ta được hình thang ABED có hai cạnh bên BE, AD song song nên 

AB = DE.

Áp dụng nhận xét hình thang có hai cạnh bên song song vào hình thang ABED, tính chất về cạnh, giả thiết vào hình thang cân ABCD ta được:

 

Suy ra ΔBCE là tam giác đều có cạnh EC = 1m.

Vậy đáy nhỏ AB = DE = DC – EC = 2,7 – 1 = 1,7 m.

Ví dụ 3. Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ) có góc  và hai đáy có độ dài 12cm, 40cm. Diện tích của hình thang cân là?

Giải

Kẻ tại H, K  .

Tứ giác MNKH có MN//HK nên MNKH là hình thang, lại có MH//NK 

 ⇒ MN = HK; MH = NK (vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Xét 2 tam giác vuông MQH và NPK có:

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân)

MH = NK (cmt)

Do đó: ΔMQH =ΔNPK  (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 

Mà HK = MN = 12cm nên 

Mà  vuông cân tại H  ⇒ MH = QH = 14 cm.

Vậy  

Ví dụ 4. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 4cm, đường cao AH = 6cm và  . Độ dài đáy lớn CD bằng:

A. 12cm.

B. 16cm.

C. 18cm. 

D. 20cm.

Giải

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì . Do đó DH = AH = 6cm.

Mà  (chứng minh tương tự ví dụ 3).

Suy ra CD = 2DH + AB = 2.6 + 4 = 16(cm).

Vậy CD = 16cm.

Đáp án: B.

Ví dụ 5. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 4cm, đáy lớn CD = 10cm, cạnh bên BC = 5cm thì đường cao AH bằng?

Giải

Kẻ  tại K.

Hình thang ABKH có hai cạnh bên AH//BK (cùng vuông góc với CD) nên AH = BK; 

AB = HK (vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau).

Xét 2 tam giác vuông AHD và BKC có

AH = BK (cmt)

AD = BC (ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC  (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra  

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 5cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có:

Vậy AH = 4cm.

Ví dụ 6. Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC và DB là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 4cm.

Giải

Gọi I là giao điểm của AD và BC thu được tam giác IDC.

Ta có AB//CD nên:  (các góc ở vị trí đồng vị)

Mà   (do ABCD là hình thang cân)

 Tam giác IAB cân tại I  ⇒ IA = IB.

Mà IA + AD = ID; IB + BC = IC, suy ra ID = IC.

Theo giả thiết DB vừa là tia phân giác của góc D vừa là đường cao nên tam giác IDC cân tại D mà ID = IC suy ra nó là tam giác đều cạnh DC = CI = 2BC = 8cm.

Ta có  (tam giác IDC đều), suy ra tam giác IAB là tam giác đều nên AB = IB = BC = 4cm.

Vậy chu vi hình thang cân là AB + BC + CD + AD = 4 + 4 + 8 + 4 = 20 cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách tính số đo góc trong hình thang (hay, chi tiết)
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau (hay, chi tiết)
• Tính độ dài đoạn thẳng dựa vào đường trung bình của tam giác, hình thang
• Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng (hay, chi tiết)
• Cách dựng hình thang bằng thước và compa (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---