Chứng minh hệ thức trong tứ giác (hay, chi tiết)

Với Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hệ thức trong tứ giác (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải. 

Chứng minh quan hệ về độ dài: 

• Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác. Với   là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: 

 

• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.

Giải

Đặt độ dài các cạnh như hình vẽ thì nửa chu vi của tứ giác ABCD là:  

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác ABD và BCD, ta được:

Từ (1) và (2) suy ra

hay  

Chứng minh tương tự, ta cũng được  

Vậy mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác chứa hai cạnh đối nhau AB, CD là OAB, OCD ta được:

OA + OB > AB hay OA + OB > a           (1)

OC + OD > CD hay OC + OD > c          (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA + OB + OC + OD > a + c  ⇒ AC + BD > a + c

Chứng minh tương tự, ta cũng được AC + BD > b + d

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Giải

Giả sử tứ giác ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Gọi O là giao điểm của AC, BD ta có: AC + BD = AO + OB + OC + OD > AB + CD = a + c (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự ta chứng minh được: AC + BD > b + d

 

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC < AB + BC = a + b; AC < AD + DC = c + d

BD < AB + AD = a + d; BD < BC + CD = b + c

 ⇒2AC + 2BD < 2a + 2b + 2c + 2d

 ⇒AC + BD < a + b + c + d.

Vậy tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có . Chứng minh rằng:

Giải

Gọi K là giao điểm của AD và BC.

Vì nên  (định lý tổng ba góc của tam giác)

Áp dụng định lý Pyatgo

Xét ΔKAC vuông tại K ta có:  

Xét ΔKBD vuông tại K ta có:

Xét ΔKAB vuông tại K ta có:

Xét ΔKCD vuông tại K ta có:

Từ đó  

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách vẽ tứ giác khi biết 5 yếu tố (hay, chi tiết)
• Cách nhận biết hình thang, hình thang vuông (hay, chi tiết)
• Cách nhận biết hình thang cân (hay, chi tiết)
• Cách tính số đo góc trong hình thang (hay, chi tiết)
• Cách tính độ dài đoạn thẳng trong hình thang (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---