Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải

Với Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.

Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải

A. Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương. 

I. Lý thuyết: 

1. Bình phương của một tổng: 

(A + B)² = A² + 2AB + B²

2. Bình phương của một hiệu 

(A - B)² = A² - 2AB + B² 

3. Hiệu hai bình phương

A² - B² = (A – B)(A + B)

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Thực hiện phép tính

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức

b, Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 

a, (x - 2)² 

= x² - 2.x.2 + 2² 

= x² - 4x + 4 

b, (2x + 1)² 

= (2x)² + 2.2x.1 + 1²  

= 4x² + 4x + 1 

c, (3x – 1)(3x + 1) 

= 3x² - 1² 

= 9x² - 1

Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu: 

a, 4x² + 4x + 1 

b, x² - 8x + 16  

Lời giải 

a, 4x² + 4x + 1 

= (2x)² + 2.2x.1 + 1²  

= (2x + 1)² 

b, x² - 8x + 16 

= x² - 2.x.4 + 4² 

= (x - 4)² 

2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

a. Phương pháp giải: 

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức. 

b. Ví dụ minh họa: 

Chứng minh các đẳng thức sau: 

a, x² + y² = (x + y)² - 2xy  

Xét VP = (x + y)² - 2xy 

= x² + 2xy + y² - 2xy

= x² + y² = VT (đpcm)

b, (a - b)² = (a + b)² - 4ab

Xét VP = (a + b)² - 4ab 

= a² + 2ab + b² - 4ab  

= a² - 2ab + b² 

= (a - b)² = VT (đpcm)

c, 4x² + 1 = (2x - 1)² + 4x  

Xét VP = (2x - 1)² + 4x 

= (2x)² - 2.2x.1 + 1² + 4x 

= 4x² - 4x + 1 + 4x 

= 4x² + 1  = VT (đpcm)

3. Dạng 3: Tính nhanh

a. Phương pháp giải: 

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên

b. Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh:

a, 22² = (20 + 2)² 

= 20² + 2.20.2 + 2² 

= 400 +80 + 4

= 484

b, 99² = (100 - 1)²

= 100² - 2.100.1 + 1² 

= 10000 – 200 + 1

= 9801

c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1)

= 20² - 1² 

= 400 – 1 

= 399

4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý: 

A² ≥ 0  và -A² ≤ 0 

b. Ví dụ minh họa: 

a, Chứng minh 9x² - 6x + 3 luôn dương với mọi x

Lời giải 

Xét: 9x² - 6x + 3 = 9x² - 6x + 2 + 1 

 = (3x)² - 2.3x.1 + 1² + 2 

= (3x + 1)² + 2 

Ta có: (3x + 1)² ≥ 0 với mọi x 

=> (3x + 1)² + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x 

Vậy 9x² - 6x + 3 luôn dương với mọi x

b, Chứng minh: -x² - 4x - 7 luôn âm với mọi x

Xét: -x² - 4x - 7 = -x² - 4x - 4 - 3 

= -(x² + 4x + 4) - 3 

= -(x + 2)² - 3 

Ta có: (x + 2)² ≥ 0 với mọi x

=> -(x + 2)² ≤ 0 với mọi x

=> -(x + 2)² - 3 ≤ -3 < 0 với mọi x  

Vậy -x² - 4x - 7 luôn âm với mọi x.

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x² - 3x + 5 

Ta có: 

M = x² - 3x + 5 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi  

B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu: 

I. Lý thuyết: 

1. Lập phương của một tổng: 

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ 

2. Lập phương của một hiệu: 

(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³ 

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức:  

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng hằng đẳng thức đã học để khai triển và rút gọn biểu thức. 

b. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 

a, (2x - 1)³ 

= (2x)³ - 3.(2x)².1 + 3.2x.1² - 1³

= 8x³ - 12x² + 6x - 1 

b, (x + 4)³  

= x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ 

= x³ + 12x² + 48x + 64

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 

A = (3x- 1)³ - 4x(x - 2) + (2x - 1)²

 = (3x)³ - 3.(3x)².1 + 3.3x.1² - 1³ - 4x² + 8x + 4x² - 4x + 1

= 27x³ - 27x² + 9x – 1 + 4x + 1

= 27x³ - 27x² + 13x 

B = (x + 1)³ - 2x²(x - 2) + x³ 

 = x³ + 3x² + 3x + 1 - 2x³ + 4x² + x³ 

= 7x² + 3x + 1 

Ví dụ 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu: 

a, x³ + 12x² + 48x + 64 

b, + 8xy² - 8y³

Lời giải 

a, x³ + 12x² + 48x + 64 

= x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³

= (x + 4)³ 

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau: 

a, A = x³ + 6x² + 12x + 8 tại x = 48

b, B = x³ - 3x² + 3x - 1  tại x = 1001

Lời giải 

a, A = x³ + 6x² + 12x + 8 

Ta có: A = x³ + 6x² + 12x + 8 

= x³ + 3x².2 + 3.x2² + 2³ 

= (x + 2)³ 

Thay x = 48 vào biểu thức A ta được: 

A = (48 + 2)³  = 50³  = 125000

b, B = x³ - 3x² + 3x - 1  tại x = 101

Ta có B = x³ - 3x² + 3x - 1 

= x³ - 3x².1 + 3.x.1² - 1³ 

= (x – 1)³ 

Thay x = 1001 vào biểu thức B ta được: 

B = (101 – 1)³  = 100³  = 1000000 

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh: 

a. Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để tính nhanh

b. Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh: 

a, 199³  

= (200 - 1)³ 

= 200³ - 3.200².1 + 3.200.1² - 1³ 

= 8000000 – 120000 + 600 – 1 

= 7880599.   

b, 101³ 

= (100 + 1)³ 

= 100³ + 3.100².1 + 3.100.1² + 1³ 

 = 1000000 + 30000 + 300 + 1

= 1030301

C. Tổng hoặc hiệu hai lập phương: 

I. Lý thuyết: 

1. Tổng hai lập phương: 

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²) 

2. Hiệu hai lập phương: 

A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²) 

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức: 

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức.

b. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 

a, x³ + 64 

= x³ + 4³ 

= (x + 4)(x² + 4x + 4²) 

= (x + 4)(x² + 4x + 16) 

b, 8x³ - 27 

= (2x)³ – 3³ 

 = (2x – 3)[(2x)² + 2x.3 + 3²] 

= (2x – 3)(4x² + 6x + 9) 

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 

a, (x - 2)³ + (x + 1)³ 

 = (x - 2 + x + 1)[(x - 2)² - (x - 2)(x + 1) + (x + 1)²] 

= (2x – 1)[x² - 4x + 4 - (x² - x - 2) + x² + 2x + 1] 

= (2x – 1)(x² - x + 7 )

= 2x³ - 2x² + 14x - x² + x - 7

= 2x³ - 3x² + 15x - 7  

b, (3x + 4)(9x² - 12x + 16)

= (3x + 4)[(3x)² - 3.4x + 4²] 

= (3x)³ + 4³ 

= 27x³ + 64

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh

a, Phương pháp giải: 

Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính

Chú ý thêm: 

A³ + B³ = (A + B)³ - 3AB(A + B) 

A³ - B³ = (A - B)³ - 3AB(A - B) 

b, Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh: 

a, 20³ + 1 

 = (20 + 1)(20² - 20 + 1 )

= 21.(400 - 20 + 1)

=8400 - 420 + 21

= 7980 + 21   

= 8001

b, 52³  - 8 

= 52³ - 2³

= (52 – 2)³ + 3.52.2.(52 – 2)

= 50³ + 6.52.50

= 125000 + 300.52

= 125000 + 15600

= 140600

c, 19³ 

 = (20– 1)³ 

= 20³ - 1³ - 3.20.1(20 – 1)

= 8000 – 1 – 60.19 

= 8000 – 1 – 1140

= 6859    

III. Bài tập tự luyện: 

Bài 1: Thực hiện phép tính: 

a, (x - 4)² 

b, (3x + 2)²  

c, (2x - 3)² 

d, (x - 4)(x + 4) 

Lời giải: 

a, (x - 4)² 

= x² - 4x + 16

b, 9x² + 12x + 4   

c, 4x² - 12x + 9  

d, x² - 16  

Bài 2: Thực hiện phép tính: 

a, (x - 3)³ 

b, (1 + 2x)³ 

c,  

d, (x – 3y)(x² + 3xy + 9y² )

Lời giải: 

a, x³ - 9x² + 27x - 27  

b, 1 + 6x + 12x² + 8x³  

c,  

d, x³ - 27y³ 

Bài 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu: 

a, 9x²  - 12 + 4

b,  

c, 4x²y² - 12xy² + 9  

d, (x + y)² - 4(x + y) + 4  

Lời giải: 

a, (3x - 2)² 

b,  

c, (2xy² - 3)²  

d, [(x + y) - 2]²  

Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: 

a,  

b, 2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²

Lời giải: 

= ab = VP (đpcm)

b, 2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²   

Xét VP = (x + y)² + (x - y)² 

 = x² + 2xy + y² + x² - 2xy + y² 

 = 2x² + 2y²

= 2(x² + y²) = VT (đpcm)

Bài 5: Rút gọn biểu thức: 

a, A = (2x - 1)² - 2(2x - 3)² + 4 

b, B = (3x + 2)² + 2(2 + 3x)(1 - 2y) + (2y - 1)²  

c, C = (x² + 2xy)² + 2(x² + 2xy)y² + y⁴ 

d, D = (x - 1)³ + 3x(x - 1)² + 3x²(x -1) + x³ 

Lời giải: 

a, A = -4x² + 20x - 13 

b, B = [(3x + 2) + (1 - 2y)]²  

= (3x - 2y + 3)² 

c, C = [(x² + 2xy) + y²]² 

 = (x² + 2xy + y²)²

= [(x + y)²]²

= (x + y)⁴  

d, D = [(x - 1) + x]³ 

= (2x – 1)³ 

Bài 6: Rút gọn biểu thức: 

a, N = (2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²) 

b, P = (x - y)(x² + xy + y²) - (x + y)(x² - xy + y²)   

c, Q = (x² - 2y)(x⁴ + 2x²y + 4y²) - x³(x – y)(x² + xy + y²) + 8y³ 

Lời giải: 

a, N = [(2x)³ + (3y)³] 

= (8x³ + 27y³) 

b, P = [(x³ - y³) - (x³ + y³)] 

= -2y³ 

c, Q = [(x²)³ - (2y)³] - x³(x³ - y³) + 8y³ 

= x⁶ - 8y³ - x⁶ + x³y³ + 8y³ 

= x³y³ 

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau:  

a, A = 25x² - 10xy² + y⁴ tại x = 5, y = 4

b, B = (x + 3)² + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4) với x = - 

c, C = 27x³ - 54x²y + 36xy² - 8y³ tại x = 4, y = 6 

d, D =  tại x = 206, y = 1

e, E = 27x³z⁶ - 54x²yz⁴ + 36xy²z²- 8y³  tại x = 25, y = 150, z = 2

f, F = (6x + 2)(9x² - 3x + 1) – (x + 1)(x² - x + 1) tại x =  

Lời giải: 

a, A = 81

b, B = 11

c, C = 0

d, D = 997552

e, E = 0

f, F =  

Bài 8: Tính nhanh: 

a, 29² 

b, 62.58

c, 102² 

d, 101³ 

e, 91³ + 3.91².9 + 3.91.9² + 9³ 

f, 18³ - 3.18².8 + 3.18.8² - 2⁹ 

g, 18³ + 2³

h, 23³ - 27  

Lời giải: 

a, 29² 

= (30 – 1)² 

= 841

b, 62.58 

= (60 + 2)(60 – 2)

= 60² - 2² 

= 3596

c, 102² 

= (100 + 2)²

= 10404

d, 101³ 

= (100 + 1)³ 

= 1030301

e, 91³ + 3.91².9 + 3.91.9² + 9³ 

= (91 + 9)³ 

= 100³ 

= 1000000

f, 18³ - 3.18².8 + 3.18.8² - 2⁹ 

 = (18 – 8)³ 

= 10³ 

= 1000

g, 18³ + 2³  

= (18 + 2)³ – 3.18.2(18 + 2)

= 20³ - 6.18.20

= 5840

h, 23³  - 27 

= 23³ - 3³ 

= (23 – 3)³ + 3.23.3.(23 – 3)

= 20³ + 9.23.20

= 12140

Bài 9: Tính giá trị biểu thức: 

a, A = 2(x³ + y³) - 3(x² + y²) biết x + y = 1

b, B = x³ + y³ + 3xy  biết x + y = 1

c, C = 8x³ - 27y³ biết xy = 4 và 2x – 3y = 5

Lời giải: 

a, A = -1

b, B = 1

C = 485

Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x: 

a, A =3(x – 1)² - (x + 1)² + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3)² - (5 – 20x)

b, B = -x(x + 2)² + (2x + 1)² + (x + 3)(x² - 3x + 9) – 1 

Lời giải: 

a, A = - 30   

b, B = 27

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

a, A = x² + x - 2

b, B = x² + x - 3 

c, C = x² + y² - 3x + 2y + 3 

d, D = x² + 10y² - 6xy - 10y + 26

Lời giải:

a, A = x² + x - 2 

b, B = x² + x - 3  

c, C = x² + y² - 3x + 2y + 3 

d, D = x² + 10y² - 6xy - 10y + 26  

Ta có: D = (x² - 6xy + 9y²) + (y² - 10y + 25) + 1 

= (x - 3y)² + (y - 5)² + 1 ≥ 1 với mọi x

=> D_min = 1 khi x =15, y = 5

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

a, A = 12x – 4x² + 3

b,   B = 6x - x² + 3

c, C = 12x – 8y – 4x² - y² + 1

d, D = 2x – 6y - x² - y² - 2

Lời giải: 

a, A = 12x – 4x² + 3

Ta có: A = -(2x - 3)² + 12 ≤ 12 với mọi x

=> A_max = 12 khi x =  

b, B_max = 12 khi x = 3

c, C_max = 26 khi x =  và y  = - 4

d, D_max = 8 khi x = 1 và y = -3

Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: 

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lời giải: Hướng dẫn: 

Đặt a + b = A, B = c

Ta có: VT = (a + b + c)³ 

= (A + B)³ = A³ + B³ + 3A²B + 3AB² 

Thay vào ta được:

(A + B)³ = A³ + B³ + 3A²B + 3AB² 

= (a + b )³ + c³ + 3(a + b)².c + 3(a + b).c²

= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3(a + b)².c + 3(a + b).c²

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3(a + b)².c + 3(a + b).c²

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[ab + (a + b).c + c²]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + bc + c²)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[(a(b +c) + c(b + c)] 

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a +c) + (b + c) = VP (đpcm)

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khai triển biểu thức sau: A = ${\left(x+\frac{1}{x}+1\right)}^2$.

Bài 2. Chứng minh bất phương trình sau luôn đúng ∀ x, y ∈ ℝ: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$.

Bài 3. Khai triển biểu thức sau: A = .

Bài 4. Chứng minh bất phương trình sau luôn đúng ∀ a, b > 0: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$.

Bài 5. Chứng minh: $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử
• Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
• Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
• Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---