Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
Với Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.
Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
A. Cách nhân đơn thức với đa thức
I. Quy tắc:
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích của chúng lại với nhau.
Với mọi x,y ≠ 0; m,n ∈ N, m ≥ n thì:
Xm.Xn = Xm+n
Xm.Ym= (XY)m
II. Các dạng bài
Dạng 1: Rút gọn biểu thức sử dụng phép nhân đa thức với đơn thức
1. Phương pháp giải:
- Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để phá ngoặc và kết hợp với các phép toán liên quan đến lũy thừa để rút gọn biểu thức
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Làm tính nhân:
a, 2x2.(3x3 + 2x)
= 2x2.3x3 + 2x2.2x
= 6x5 + 4x3
b, 3x.(x2 + 2x + 2)
= 3x.x2 + 3x.2x + 3x.2
= 3x3 + 6x2 + 6x
c, x3.(3x4 + 2x2 + 1)
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
a, M = 2x2 (x3 - x2 + 1) + 4x(x4 - 2x3 + 1)
= 2x2.x3 - 2x2.x2 + 2x2.1 + 4x.x4 - 4x.2x3 + 4x
= 2x5 - 2x4 + 2x2 + 4x5 - 8x4 + 4x
= (2x5 + 4x5) - (2x4 + 8x4) + 2x2 + 4x
= 6x5 - 10x4 + 2x2 + 4x
b, N = x3 (1 + 2x2 - 4x) + 3x4(3 - x)
= x3.1 + x3.2x2 - x3.4x + 3x4.3 - 3x4.x
= x3 + 2x5 - 4x4 + 9x4 - 3x5
= (2x5 - 3x5) + (9x4 - 4x4) + x3
= -x5 + 5x4 + x3
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức cho trước.
1. Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức đã cho sau đó thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức:
a, A = 3x.(2x2 - 1) tại x = 1
Ta có:
A = 3x.(2x2 - 1)
= 3x.2x2 - 3x.1
= 6x3 - 3x
Tại x = 1 thay vào biểu thức A ta được:
A = 6.13 - 3.1 = 6 – 3 =3
b, B = 4x2.(x2 + 4x + 2) tại x =
Ta có:
B = 4x2.(x2 + 4x + 2)
= 4x2.x2 + 4x2.4x + 4x2.2
= 4x4 + 16x3 + 8x2
Tại x = thay vào B ta được:
c, C = 2x.(3x2 - 5) tại x = 4
Ta có:
C = 2x.(3x2 - 5)
= 2x.3x2 - 2x.5
= 6x3 - 10x
Tại x = 4 thay vào C ta được:
C = 6.43 - 10.4
= 384 – 40
= 344.
Dạng 3: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
1. Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không còn chứa biến
2. Ví dụ minh họa:
Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:
a, A = 3x. + (3x)2(x3 - 1) + (-2x + 9).x2 - 12
b, B = x.(2x3 + x + 2) - 2x2(x2 + 1) + x2 - 2x + 1
c, C = x.(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 3
Lời giải:
a, A = 3x. + (3x)2(x3 - 1) + (-2x + 9).x2 - 12
= 2x3 - 9x5 + 9x2(x3 - 1) - 2x3 + 9x2 - 12
= 2x3 - 9x5 + 9x5 - 9x2 - 2x3 + 9x2 - 12
= (2x3 - 2x3) + (9x5 - 9x5) + (9x2 - 9x2) - 12
= -12
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến x
b, B = x.(2x3 + x + 2) - 2x2(x2 + 1) + x2 - 2x + 1
= x.2x3 + x.x + x.2 - 2x2.x2 - 2x2.1 + x2 - 2x + 1
= (2x4 + x2 + 2x) - (2x4 + 2x2) + x2 - 2x + 1
= 2x4 + x2 + 2x - 2x4 - 2x2 + x2 - 2x + 1
= (2x4 - 2x4) + (x2 - 2x2 + x2) + (2x - 2x) + 1
= 1
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến x
c, C = x.(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 3
= x.2x + x.1 - x2.x - x2.2 + x2 - x + 3
= (2x2 + x) - (x3 + 2x2) + x3 - x + 3
= 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 3
= (2x2 - 2x2) + (x3 - x3) + (x - x) + 3
= 3
Vậy giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của biến x
Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước:
a. Phương pháp giải:
- B1: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc
- B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau lại và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.
b. Ví dụ minh họa:
Tìm x, biết:
a, 2.(5x – 8) – 3.(4x – 5) = 4.(3x – 4)+11
⇔ 2.5x – 2.8 – 3.4x + 3.5 = 4.3x – 16 +11
⇔ 10x – 16 – 12x + 15 = 12x – 5
⇔ -2x – 1 = 12x – 5
⇔ -2x – 12x = 1 – 5
⇔ -14x = - 4
⇔
Vậy
b, 2x(6x - 2x2) + 3x2(x - 4) = 8
⇔ 2x.6x - 2x.2x2 + 3x2.x - 3x2.4 = 8
⇔ 12x2 - 4x3 + 3x3 - 12x2 = 8
⇔ (12x2 - 12x2) + (3x3 - 4x3) = 8
⇔ -x3 = 8
⇔ x3 = -8
⇔ x =-2
Vậy x = -2
B. Cách nhân đa thức với đa thức:
I. Quy tắc:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng tích với nhau
Ta có:
(A + B).(C + D)
= A.(C + D) + B.(C + D)
= A.C + A.D + B.C + B.D
II. Các dạng bài:
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải:
Sử dung quy tắc nhân đa thức với đa thức.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, (2x + 1).(3x – 2)
= 2x.(3x – 2) + 1.(3x – 2)
= 2x.3x – 2x.2 + 1.3x – 1.2
= 6x2 - 4x + 3x – 2
= 6x2 - x – 2
b, (x2 + x + 1).(x - 2)
= x2.(x – 2) + x.(x – 2) + 1.(x – 2)
= x3 - 2x2 + x2 - 2x + x – 2
= x3 + (-2x2 + x2) + ( -2x + x) - 2
= x3 - x2 - x - 2
c, x.(xy – 1)(xy + 1)
= ( x2y - x ).(xy + 1)
= x2y(xy + 1) - x(xy + 1)
= x3y2 + x2y - x2y - x
= x3y2 - x
Dạng 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
1. Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không còn chứa biến.
2. Ví dụ minh họa:
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:
a, P = (x + 2).(x – 3) – x(x – 6) + 7
Ta có:
P = (x + 2).(x – 3) – x(x – 1) + 7
= x(x – 3) + 2.(x – 3) - x2 + x + 7
= x2 - 3x + 2x – 6 - x2 + x + 7
= x2 - x – 6 - x2 + x + 7
= (x2 - x2) + (x – x) + (7 – 6)
= 1
Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến x
b, Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + 7
Ta có:
Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + 7
= x.(3x – 1) + 2.(3x – 1) – x.(3x + 3) – 2x + 7
= 3x2 - x + 6x – 2 - 3x2 - 3x – 2x + 7
= (3x2 - 3x2) + (6x – x – 3x – 2x) + (7 – 2)
= 5
Vậy giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến x
c, T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1
Ta có:
T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1
= 2x.(2x + 3) – 3.(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1
= 4x2 + 6x – 6x – 9 – 3x - 4x2 + 3x + 1
= (4x2 - 4x2) + (6x – 6x – 3x + 3x) + (1 – 9)
= -8
Vậy giá trị của biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị của biến x
Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước:
a. Phương pháp giải:
- B1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc
- B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau lại và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.
b. Ví dụ minh họa:
a, (x - 2)(x + 3) - (x - 3)(x - 5) = 0
⇔ x(x + 3) - 2(x + 3) - x(x + 5) + 3(x + 5) = 0
⇔ x.x + x.3 - 2.x - 2.3 - x.x - x.5 + 3.x + 3.5 = 0
⇔ x2 + 3x - 2x - 6 - x2 - 5x + 3x + 15 = 0
⇔ (x2 - x2) + (3x - 2x - 5x + 3x) + (15 - 6)
⇔ -x + 9 = 0
⇔ x= - 9
Vậy x = -9
b, (3x + 2)(x + 4) – (3x – 1)(x – 5) = 0
⇔ 3x.(x + 4) + 2(x + 4) – 3x(x – 5) + 1(x – 5) = 0
⇔ 3x.x + 3x.4 + 2.x + 2.4 – 3x.x + 3x.5 + x – 5 = 0
⇔ 3x2 + 12x + 2x + 8 - 3x2 + 15x + x – 5 = 0
⇔ (3x2 - 3x2) + (12x + 2x + 15x + x) + (8 – 5) = 0
⇔ 30x + 3 = 0
⇔ 30x = -3
⇔ x =
Vậy x =
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau:
a. Phương pháp giải:
Ta chọn một trong hai vế của biểu thức để thực hiện phép nhân đa thức với đa thức, sau đó rút gọn đa thức tích để thu được kết quả như vế còn lại.
b. Ví dụ minh họa:
Chứng minh
a, (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx
b, (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx
Lời giải
a, Xét VT = (x – y – z)2
= (x – y – z).(x – y – z)
= x(x – y – z) – y(x – y – z) –z(x – y – z)
= x2 - xy – xz – yx + y2 + yz – zx + zy + z2
= (x2 + y2 + z2) – (xy +yx) – (xz + zx) + (yz + zy)
= (x2 + y2 + z2) – 2xy – 2xz + 2yz
= (x2 + y2 + z2) – 2xy + 2yz – 2xz = VP (đpcm)
Vậy (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx
b, Xét VT = (x + y – z)2
= (x + y – z).(x + y – z)
= x(x – y – z) + y(x – y – z) –z(x – y – z)
= x2 + xy – xz + yx - y2 - yz – zx + zy + z2
= (x2 - y2 + z2) + (xy + yx) – (xz + zx) - (yz - zy)
= (x2 - y2 + z2) + 2xy – 2xz - 2yz
= (x2 + y2 + z2) + 2xy - 2yz – 2xz = VP (đpcm)
Vậy (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx
C. Bài tập tự luyện
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a, -2xy2.(x3y - 2x2y2 + 5xy3)
b, (-2x).(x3 - 3x2 - x + 1)
c, 3x2(2x3 - x + 5)
d,
Lời giải:
a, -2x4y3 + 4x3y4 - 10x2y5
b, -2x4 + 6x3 + 2x2 - 2x
c, 6x5 - 3x3 + 15x2
d,
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a, (3x2y - 6xy + 9x).
b, (4xy + 3y - 5x).x2y
c, 3x2.(2y - 1) - [2x2.(5y - 3) - 2x(x - 1)]
d, 25x - 4(3x - 1) + 7x(5 - 2x2)
Lời giải:
a, -4x3y2 + 8x2y2 - 12x2y
b, 4x3y2 + 3x2y2 - 5x3y
c, -4x2y + 5x2 - 2x
d, -14x3 + 48x + 1
Bài 3: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của các biểu thức sau, biết:
a) A = 7x(x - 5) + 3(x - 2) với x = 0
b) B = 4x(2x - 3) - 5x(x - 2) với x = 2 .
c) C = a2(a + b) - b(a2 - b2) + 2013, với a = 1, b = -1
d) D = m(m - n + 1) - n(n +1 - m), với
Lời giải:
a, A = -6
b, B = 8
c, C = 2013
d, D = 0
Bài 4: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:
a) A = x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 -x + 3)
b) B = x(x3 + 2x2 - 3x + 2) - (x2 + 2x)x2 + 3x(x - 1) + x - 12
c) C = 3xy2(4x2 - 2y) - 6y(2x3y + 1) + 6(xy3 + y - 3)
d) D = 3x(x - 5y) + (y - 5x)(-3y) - 1 - 3(x2 - y2)
Lời giải:
a, A = 3
b, B = -12
c, C = -18
d, D = - 1
Bài 5: Tìm x, biết:
a, x(x2 + 2) + 2x = 4
b, (2x)2(x - 1) + x(x2 + 4x) = 40
c, 3x(x – 2) – 3(x2 - 3) = 8
Lời giải:
a, x = 1
b, x = 2
c, x =
Bài 6: Thực hiện phép tính:
a, (x + 3)(x – 4)
b, (x – 4)(x2 + 4x + 16 )
c, (xy2 - 1)(x2y + 5)
d, 4.(4x2 + 1)
Lời giải:
a, x2 - x - 12
b, x3 - 64
c, x3y2 - 5xy2 - x2y - 5
d, 16x4 - 1
Bài 7: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a, A = (3x +2)(9x2 - 6x + 4) tại x =
b) B = (x + 1)(x7 - x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1) tại x = 2
c) C = (x + 1)(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1) tại x = 2
d) D = 2x(10x2 - 5x - 2) - 5x(4x2 - 2x - 1) tại x = -5
Lời giải:
a, A = 9
b, B = 255
c, C = 129
d, D = -5
Bài 8: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a) A = (5x – 2)(x + 1) – (x – 3)(5x + 1) – 17(x + 3)
b) B = (6x – 5)(x + 8) – (3x – 1)(2x + 3) – 9.(4x – 3)
c) C = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 3
d) D = (x + 1)(x2 - x + 1) - (x - 1)(x2 + x + 1)
Lời giải
a, A = -50
b) B = -10
c) C = 3
d) D = 2
Bài 9: Tìm x, biết:
a) (x2 - 4x + 16)(x + 4) – x(x + 1)(x + 2) + 3x2 = 0
b) (8x + 2)(1 – 3x) + (6x – 1)(4x – 10) = -50
c, 3.(1 – 4x)(x – 1)+ 4(3x + 2)(x + 3) = 38
d) 5.(2x + 3)(x + 2) – 2(5x – 4)(x – 1) = 75
Lời giải:
a, x = 32
b, x = 1
c, x =
d, x = 1
Bài 10: Chứng minh:
a, (x + 2)(x – 2)(x2 + 4) = x2 - 16
b, (x2 - xy + y2)(x + y) = x3 + y3
Lời giải:
a, (x + 2)(x – 2)(x2 + 4) = x2 - 16
Ta có: VT = (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)
= (x2 - 2x + 2x - 4)(x2 + 4)
= (x2 - 4)(x2 + 4)
= x4 - 4x2 + 4x2 - 16
= x4 - 16 = VP (đpcm)
b, (x2 - xy + y2)(x + y) = x3 + y3
Ta có:
VT = (x2 - xy + y2)(x + y)
= x3 + x2y - x2y - xy2 + xy2 + y3
= x3 + y3 = VP (đpcm)
Bài 11: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52.
Lời giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là: x, x + 1, x + 2 (x ∈ N ).
Ta có tích của hai số đầu là x.(x + 1)
Tích của hai số sau là: (x + 1)(x + 2)
Vì tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52 nên ta có:
(x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 52
=> x2 + x + 2x + 2 - x2 = 52
⇔ 2x = 52
⇔ x = 26
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp là: 26, 27, 28.
Bài 12: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 1, b chia cho 5 dư 4. Chứng minh ab + 1 chia hết cho 5
Lời giải:
Ta có a chia cho 5 dư 1 nên ta đặt a = 5x + 1 (x ∈ N)
Ta lại có b chia cho 5 dư 4 nên ta đặt b = 5y + 4 ( y ∈ N)
Ta có:
ab + 1 = (5x +1)(5y + 4) + 1
= 25xy + 20x + 5y + 4 + 1
= 25xy + 20x + 5y + 5
= 5.(5xy +4x + y + 1) 5 (đpcm)
Bài 13: Chứng minh 2n2(n + 1) - 2n(n2 + n - 3) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Lời giải:
Ta có:
2n2(n + 1) - 2n(n2 + n - 3)
= 2n3 + 2n2 - 2n3 - 2n2 + 6n
= 6n 6 (đpcm)
Bài 14: Chứng minh n(3 – 2n) – (n – 1)(1 + 4n) – 1 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Lời giải: chứng minh tương tự bài 13.
Bài 15. Thực hiện phép tính:
a) x2.(y3 + xy + x2y2 – x2)
b) (–x2y).(x2y – x2 + y + 8x)
Bài 16. Thực hiện phép tính:
a) 2x3.(3x + x2 + 5)
b) (x2y + 7xy2 + x2).5y
Bài 17. Thực hiện phép tính:
a) (4x2 + 3 – 5x).xy3
b) 3x2y2.(2y + 2x2 + 3y - 3)
Bài 18. Thực hiện phép tính:
a) 25x.(–4x + 4 + 7x2 + 2x3)
b) 3x.(x3y2 + 3x2y2 – 5x3y)
Bài 19. Thực hiện phép tính:
a) 2x2(x + 3) – 5x2(2x2 + 2) + 3(x3 + x + 3)
b) 4x(2x2 + 3) – 5x(x + 2)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
- Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử
- Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
- Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều