Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
Với Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.
Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
A. Lý thuyết:
- Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B 0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên
- Với A và B là hai đa thức tùy ý cùng một biến số (B ≠ 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R.
Trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.
R ≠ 0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư.
Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B.
B. Các dạng bài:
Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia đa thức
1. Phương pháp giải: Có thể dùng các hằng đẳng thức đấng nhớ sau để rút gọn phép chia đa thức:
(A3 + B3) : (A + B) = A2 - AB + B2
(A3 - B3) : (A - B) = A2 + AB + B2
(A2 - B2) : (A + B) = A - B
2. Ví dụ minh hoạ: Áp dụng hẳng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép chia sau:
a, (8x3 + 1) : (2x + 1) = [(2x)3 + 13] : (2x + 1)
= (2x)2 - 2x.1 + 12
= 4x2 - 2x + 1
b, (4x2 - 4x + 1) : (1 - 2x)
= [(2x)2 - 2.2x.1 + 12] : (1 - 2x)
= (2x - 1)2 : (1 - 2x)
= (2x - 1)2 : [-(2x - 1)]
= -(2x - 1)
= 1 - 2x
Dạng 2: Tìm thương và số dư trong phép chia đa thức
1. Phương pháp giải: Từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R
2. Ví dụ minh họa:
a, Cho hai đa thức A = x3 - x2 - 5x - 3 và B = x - 3. Tìm dư R trong phép chia A cho B và viết A dưới dạng A = B.Q + R
b, Cho đa thức A = 3x4 + x3 + 6x - 5 và B = x2 + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B và viết A dưới dạng A = B.Q + R
Lời giải:
a, Ta thực hiện phép chia sau:
(x3 - x2 - 5x - 3) : (x - 3)
Kết luận:
Vậy số dư trong phép chia là 0
A = (x - 3)(x2 + 2x + 1) + 0
b, Ta thực hiện phép chia sau:
(3x4 + x3 + 6x - 5) : (x2 + 1)
Kết luận:
Vậy số dư trong phép chia là 5x - 2
A = (x2 + 1)(3x2 + x - 3) + (5x - 2)
Dạng 3: Tìm điều kiện để thực hiện phép chia đa thức
1. Phương pháp giải:
* Thực hiện phép chia A : B để tìm biểu thức dư R theo m
Để A chia hết cho B thì R = 0 => m
* Tìm số nguyên n để A chia hết cho B (với A , B là các biểu thức theo n)
- Thực hiện A : B tìm số dư là số nguyên k, thương là biểu thức Q
- Viết A = Q.B + k
- Để A chia hết cho B ⇔ k chia hết cho B ⇔ B là Ư(k) => n
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm k để f(x) = x4 - 9x3 + 21x2 + x + 1 chia hết cho g(x) = x – 2
Lời giải Ta thực hiện phép chia sau:
Để f(x) chia hết cho g(x) thì k + 30 = 0 ⇔ k = - 30.
KL: Vậy với k = -30 thì f(x) chia hết cho g(x)
VD2: Tìm số nguyên x để đa thức A = 8x2 - 4x + 1 chia hết cho đa thức B = 2x + 1
Giải: Ta thực hiện phép chia sau:
Để A chia hết cho B thì 5 ⋮ (2x + 1) ⇔ (2x + 1) ∈ Ư(5)
2x + 1 |
5 |
-5 |
1 |
-1 |
x = |
2 (TM) |
-3 (TM) |
0 (TM) |
-1 (TM) |
KL: Vậy x = {-3, -1, 0, 2}
3, Bài tập tự luyện
Bài 1: Thực hiện phép chia sau:
a, (x3 - x2 - 5x - 3) : ( x - 3)
b, ( x4 + x3 - 6x2 - 5x + 5) : (x2 + x - 1)
c, (2x3 + 3x2 - 6x + 5) : (x2 + 2)
d, (x2 + 6x + 7) : (x – 3)
Lời giải:
a, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng x2 + 2x + 1
b, Đa thức thương bằng x2 - 5
c, Đây là phép chia dư với đa thức thương bằng 2x + 3 và dư ( - 10x -1)
d, Đây là phép chia dư với đa thức thương bằng x + 9 và dư 34
Bài 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi tính:
a, (2x4 - 5x2 + x3 - 3 - 3x) : (x2 - 3)
b, (-x3 + 2x4 - 4 - x2 + 7x) : (x2 + x - 1)
c, (-x2 + 6x3 - 26x + 21) : (2x – 3)
Lời giải:
a, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 2x2 + x + 1
b, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 2x2 - 3x + 4
c, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 3x2 + 4x - 7
Bài 3: Sử dụng hẳng đẳng thức để thực hiện các phép chia sau:
a, (x2 + 2x + 1) : (x + 1)
b, (x3 - 8) : (x2 + 2x + 4)
c, (x3 - 3x2 + 3x - 1) : (x – 1)
d, (8x3 + 27) : (2x + 3)
Lời giải:
a, Đa thức thương bằng x + 1
b, x – 2
c, (x – 1)2 = x2 - 2x + 1
d, 4x2 + 6x + 9
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:
a, (24x5 - 9x3 + 15x2) : 3x
b, (-8x5 + x3 - 2x2) : 2x2
c, (x4 + 4x2 + 3) : (x2 + 3)
d, (x4 - 2x3 + 4x2 - 4x + 4) : (x2 - 2x + 2)
Lời giải:
a, 8x4 - 3x2 + 5x
b,
c, x2 + 1
d, x2 + 2
Bài 5: Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R, biết:
a, A = 2x4 + x3 + 3x2 + 4x + 9 và B = x2 + 1
b, A = 2x3 - 11x2 + 19x - 6 và B = x2 - 3x + 1
c, A = 2x4 - x3 - x2 - x + 1 và B = x2 + 1
Lời giải:
a, Q = 2x2 + x + 1 và R = 3x + 8
b, Q = 2x - 5 và R = 2x - 1
c, Q = 2x2 - x - 3 và R = 4
Bài 6: Tìm k để:
a, f(x) = x4 - 10x3 + 21x2 + 8x + k chia hết cho g(x) = x + 2
b, f(x) = x4 - 19x3 + 25x2 - 6x + k chia hết cho g(x) = x – 3
c, f(x) = x4 - 8x3 + 24x2 + 7x + k chia hết cho g(x) = x + 4
d, f(x) = 3x4 - 7x3 + 11x2 + x - k chia hết cho g(x) = x – 4
Lời giải:
a, k = - 164
b, k = 225
c, k = -1124
d, k = 500
Bài 7: Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B, biết:
a) A = x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b và B = x2 - 3x + 4
b) A = x4 - 9x3 + 21x2 + ax + b và B = x2 - x - 2
Lời giải:
a, a = 3, b = -4
b, a = 1, b = -30
Bài 8: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức A chia hết cho đa thức B, biết:
a, A = 3x3 + 8x2 - 15x + 6 và B = 3x – 1
b, A = x3 + 4x2 + 3x - 7 và B = x + 4
Lời giải:
a, x = 0, x = 1
b, x = {-23, -5, -3, 15}
Bài 9: Tìm đa thức M, biết:
a) x3 - 5x2 + x - 5 = (x - 5).M
b) (x2 - 4x - 3).M = 2x4 - 13x3 + 14x2 + 15x
c) (x2 + x + 1).M = x4 - x3 - 4x2 - 5x - 3
Lời giải:
a, M = x2 + 1
b, M = 2x2 - 5x
c, M = x2 - 2x - 3
Bài 10: Tìm x biết:
a) (8x2 - 4x) : (-4x) - (x + 2) = 8
b) (2x4 - 3x3 + x2) : (-x2) + 4(x - 1)2 = 0
Lời giải:
a, x = -3
b, x = 1, x =
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
- Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
- Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử
- Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều