Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức

Với Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.

Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức

A. Chia đơn thức cho đơn thức

I. Lý thuyết: 

 - Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A

- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

         + Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau. 

- Nhắc lại một số quy tắc về lũy thừa: 

Với mọi x,y ≠ 0; m,n ∈ N, m ≥ n thì: 

x^m.xⁿ = x^m+n

x^m.y^m = (xy)^m

 

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Áp dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức để thực hiện phép tính.  

a. Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức để tính. 

b. Ví dụ minh họa:  

a, 8⁴ ; 8^-3 

= 8^{4 -(-3)} 

= 8⁷ 

b, 3x⁴ : 5x²  

= (3 : 5).(x⁴ : x²) 

=  

c, x⁷y⁴ : x²y³  

= (x⁷ : x²).(y⁴ : y³)

= x⁵y 

2. Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức A chia hết cho biểu thức B 

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng lý thuyết về điều kiện về số mũ của các biến để đơn thức A chia hết cho đơn thức B. 

b. Ví dụ minh họa: 

Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B trong các trường hợp sau:

a, A = 14x⁸yⁿ và B = -7x⁷y⁴

ta có A : B = (14 : -7).(x⁸ :x⁷).(yⁿ :y⁴)

= -2.x.y^n-4 

Để A chia hết cho B thì: 

   

b, A = 20x⁶yz^{2n - 5} và B = 5x³z³ 

ta có A : B = (20 : 5).(x⁶ :x³).y.(z^{2n - 5} :z³)

= 4.x³.y.z^2n-5-3 

= 4.x³.y.z^{2n - 8} 

Để A chia hết cho B thì: 

   

c, A = 2xyⁿ và B = y² 

ta có A : B = (2 : 1).x.(yⁿ :y²)

= 2.x.y^n-2 

Để A chia hết cho B thì: 

  

B. Chia đa thức cho đơn thức

I. Lý thuyết: 

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B) ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại với nhau.

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức để thực hiện phép tính

a. Phương pháp giải: 

Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức (trong trường hợp chia hết) và chia đơn thức cho đơn thức (trong trường hợp chia hết) để tính.

b. Ví dụ minh họa: 

Thực hiện phép tính: 

a, (3.5⁶ - 4.5⁴ + 2.5³) : 5³  

= (3.5⁶ : 5³) – (4.5⁴ : 5³) + (2.5³ : 5³)

 = 3.5⁴ - 4.5² + 2.5

= 3.625 – 4.25 + 10

= 1785  

b, (3x⁴ + 7x⁵ - 2x³) : x³ 

= (3x⁴ : x³) + (7x⁵: x³) - (2x³: x³) 

= 3x + 7x² - 2 

= 7x² + 3x + 2

c, [2(x + y)³ - 3(x + y)²] : 3(x + y)  

= [2(x + y)³ : 3(x + y)] - [3(x + y)² : 3(x + y)] 

2. Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức A chia hết cho biểu thức B

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng lý thuyết về điều kiện về số mũ của các biến để đa thức A chia hết cho đơn thức B (nghĩa là mọi hạng tử của đa thức A phải chia hết cho đơn thức B)

b. Ví dụ minh họa: 

Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

a, A = 14x⁸y⁴ - 9x²ⁿy⁶ và B = -2x⁷yⁿ

Ta có: A : B = (14x⁸y⁴ - 9x²ⁿy⁶) : -2x⁷yⁿ  

= (14x⁸y⁴ :-2x⁷yⁿ) - (9x²ⁿy⁶ : -2x⁷yⁿ) 

Để A chia hết cho B thì:  

   

=> n = 4 (vì n ∈ N )

b, A = 4x⁹y²ⁿ + 9x⁸y⁵ và B = 3x³ⁿy⁴ 

Ta có: A : B = (4x⁹y²ⁿ + 9x⁸y⁵) : 3x³ⁿy⁴ 

= (4x⁹y²ⁿ : 3x³ⁿy⁴) + (9x⁸y⁵ : 3x³ⁿy⁴) 

Để A chia hết cho B thì:  

   

 

=> n = 2 (vì n ∈ N )

c, A = -8y¹²z¹⁰ - 21y²⁰z^{2n - 1} và B = -6y²ⁿz⁹ 

Ta có: A : B = (-8y¹²z¹⁰ - 21y²⁰z^{2n - 1}) : -6y²ⁿz⁹ 

= (-8y¹²z¹⁰ : -6y²ⁿz⁹) - (21y²⁰z^{2n - 1} : -6y²ⁿz⁹) 

=  

Để A chia hết cho B thì: 

   

=> 5 ≤ n ≤ 6 

=> n ∈ (vì n ∈ N )

                         

C. Bài tập tự luyện: 

Bài 1: Làm phép tính chia:

a) (-18)⁴ : 9⁴          

Lời giải: 

a) 16                                      

Bài 2:  Làm phép tính chia:

a) x⁵ : x³ .                                          

b) 18x⁷ : 6x⁴

c) 8x⁶y⁷z² : 4x⁴y⁷                                   

d) 65x⁹y⁵ : (-13x⁴y⁴)

                               

f) (5 - x)⁵ : (x - 5)⁴

Lời giải: 

a) x⁵ : x³ = x²                                                             

b) 18x⁷ : 6x⁴ = 3x³

c) 8x⁶y⁷z² : 4x⁴y⁷ = 2x²z²                                          

d) 65x⁹y⁵ : (-13x⁴y⁴) = -5x⁵y

                                   

f) (5 - x)⁵ : (x - 5)⁴ = 5 - x

Bài 3:  Tính giá trị biểu thức:

a) A = 15x⁵y³ : 10xy² tại x = -3 và  

b) B = (-x³y⁵z³) : (-x²y³z²) tại x = 1, y = -1 và z = 100 

d) D = (x - y + z)⁵ : (-x - y + z)³  tại x = 17, y = 16 và z = 1 

Lời giải: 

b) B = xy²z. Thay x = 1, y = -1 và z = 100 vào B ta được B = 100.

d) D = -(x - y + z)², thay x = 17, y = 16 và z = 1 tính được D = -4 

Bài 4: 

a)Cho A = 18x¹⁰yⁿ và B = -6x⁷y³. Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B. 

b) Cho A = -12x⁸y²ⁿz^{n - 1} và B = 2x⁴yⁿz. Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B. 

Lời giải :  

Bài 5: Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và biểu thức B đồng thời chia hết cho biểu thức C biết:

a) A = x⁶y^{2n - 6}, B = 2x³ⁿy^18-2n và C = x²y⁴ 

b) A = 20xⁿy²ⁿ⁺³z², B = 21x⁶y^3-nt và C = 22x^n-1y² 

Lời giải : 

     

 

=> n ∈

 

 

=> n ∈  

Bài 6 : Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để có kết quả đúng.

A	B
a) 15xy2	1) 5x2y2
b) 20x3y2 : 4xy2	2) 3y
c) 40x3y3 : 8xy	3) 5x2
	4) x2

Lời giải: 

a – 2, b – 3, c – 1

Bài 7: Làm phép tính chia:

a) (6.8⁴ - 5.8³ + 8²) : 8²                  

b) (5.9² + 3⁵ - 2.3³) : 3²

c) (2.3⁴ + 3² - 7.3³) : 3².                      

d) (6.2³ - 5.2⁴ + 2⁵) : 2³

Lời giải: 

a) 6.8² - 5.8 + 1 = 345  

b) (5.9² + 3⁵ - 2.3³) : 3² = 66

c) (2.3⁴ + 3² - 7.3³) : 3² = 2.3² + 1 - 7.3 = -2

d) (6.2³ - 5.2⁴ + 2⁵) : 2³ = 6 - 5.2 + 2² = 0

Bài 8:  Làm phép tính chia: 

a) (x³ + 12x² - 5x) : x.                                 

b) (3x⁴y³ - 9x²y² + 25xy³) : xy².        

e) (8x³ - 27y³) : (2x - 3y).                           

f) [5(x + 2y)⁶ - 6(x + 2y)⁵] : 2(x + 2y)⁴ .

Lời giải: 

a) (x³ + 12x² - 5x) : x  

= x² + 12 - 5 

b) (3x⁴y³ - 9x²y² + 25xy³) : xy²

= 3x³y - 9x + 25y           

     

 e) (8x³ - 27y³) : (2x - 3y)          

= (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²) : (2x - 3y)

= 4x² + 6xy + 9y²

f) [5(x + 2y)⁶ - 6(x + 2y)⁵] : 2(x + 2y)⁴   

 

Bài 9:  Tính giá trị biểu thức:  

a) A = (15x⁵y³ - 10x³y² + 20x⁴y⁴) : 5x²y² tại x = -1; y = 2

b) B = [(2x²y)² + 3x⁴y³ - 6x³y²] : (xy)² tại x = y = -2

Lời giải:

a) A = 3x³y - 2x + 4x²y² .

        Thay x = -1; y = 2 vào biểu thức tính được kết quả A = 12 

        b) B = 4x² + 3x²y - 6x

       Thay x = y = -2 vào biểu thức tính được kết quả B = 4 .

       

 

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

a) A = x²y⁴ + 2x³y³, B = xⁿy² .

b) A = 5x⁸y⁴ - 9x²ⁿy⁶, B = -x⁷yⁿ .                        

c) A = 4x⁹y²ⁿ + 10x¹⁰y⁵z². B = 2x³ⁿy⁴ .

Lời giải:  

a) A ⋮ B ⇔ 2 ≥ n ⇔ n ≤ 2 mà n ∈ N => n = . 

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
• Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
• Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
• Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---