Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn trong Chuyên đề dạy thêm Toán 9 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 9.

Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 9 (cả 3 sách) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC

Ta có định nghĩa sau đây:

Hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 1. Hãy chỉ ra một bất đẳng thức diễn tả số a lớn hơn 3. Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?

Lời giải

Để diễn tả số a lớn hơn 3, ta có bất đẳng thức a > 3.

Khi đó a là vế trái, 3 là vế phải của bất đẳng thức.

II. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất bắc cầu

Cho ba số a, b, c. Nếu a > b và b > c thì a > c (tính chất bắc cầu).

Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥, ≤.

Ví dụ 2. So sánh hai số x và y, biết x > 3,4 và y < 3,4.

Lời giải

Do x > 3,4 và 3,4 > y nên theo tính chất bắc cầu ta suy ra x > y.

2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Hai bất đẳng thức a > b và m > n được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức a > b và m < n được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Ta thấy: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Một cách tổng quát, ta có: Cho ba số a, b và c. Nếu a > b thì a + c > b + c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥, ≤.

Ví dụ 3. Chứng tỏ $2023+\left(-2^{29}\right)>2022+\left(-2^{29}\right).$

Lời giải

Ta có 2023 > 2022. Cộng hai vế của bất đẳng thức với -2²⁹, ta được: $2023+\left(-2^{29}\right)>2022+\left(-2^{29}\right)\text{.}$

Ví dụ 4. Cho hai số a và b thoả mãn a < b. Chứng tỏ a + 3 < b + 5.

Lời giải

Cộng 3 vào hai vế của bất đẳng thức a < b, ta được: a + 3 < b + 3 (1)

Cộng b vào hai vế của bất đẳng thức 3 < 5, ta được: 3 + b < 5 + b hay b + 3 < b + 5. (2)

Từ (1) và (2) suy ra a + 3 < b + 5 (tính chất bắc cầu).

3. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Ta thấy:

- Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Một cách tổng quát, ta có:

Cho ba số a, b, c và a > b.

- Nếu c > 0 thì a.c > b.c;

- Nếu c < 0 thì a.c < b.c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥, ≤.

Ví dụ 5. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh: 1962.12 và 1963.12.

Lời giải

Ta có 1962 < 1963. Nhân hai vế của bất đẳng thức với 12, ta được: 1962.12 < 1963.12.

Ví dụ 6. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh: 47.(-19) và 50.(-19).

Lời giải

Ta có 47 < 50. Nhân hai vế của bất đẳng thức với -19 , ta được: 47.(-19) < 50.(-19).

Ví dụ 7. Cho hai số a, b thoả mãn a² > b² > 0. Chứng tỏ 5a² > 4b²

Lời giải

Nhân hai vế của bất đẳng thức a² > b² với 5, ta được: 5a² > 5b² (3)

Vì b² > 0 nên khi nhân hai vế của bất đẳng thức 5 > 4 với b², ta được: 5b² > 4b² (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5a² > 4b² (tính chất bắc cầu).

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Xác định tính đúng sai của một bất đẳng thức

1. Phương pháp giải

- Vận dụng thứ tự trên tập hợp số.

- Vận dụng liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Mỗi bất đẳng thức sau đúng hay sai?

a) $5+(-8)<1$;

b) $(-2)\cdot (-7)>(-5)\cdot (-3)$.

Ví dụ 2. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) ${(-7)}^2-9\le (-10)\cdot (-4)$;

b) Thương của 15 và -6 nhỏ hơn thương của -12 và 4?

Ví dụ 3. Mỗi bất đẳng thức sau đúng hay sai? Giải thích.

a) ${\text{x}}^2+3\ge 3$;

b) $-x^2+1\le 1$;

c) $-{(x+2)}^2-5\le -5.$

Dạng 2. So sánh hai số

1. Phương pháp giải

Vận dụng liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho a < b, hãy so sánh:

a) a - 3 và b - 3

b) -5a + 1 và -5b + 1

Ví dụ 2. Cho số a bất kì, hãy so sánh:

a) a và a - 4;

b) a - 7 và a + 5.

Ví dụ 3. Cho số m bất kì, hãy so sánh m² với m.

Dạng 3. Chứng minh bất đå̉ng thức

1. Phương pháp giải

Cách 1. Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0.

Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0.

Cách 2. Dùng phương pháp biến đổi tương đương : A > B $\iff$ C > D $\iff$ ... $\iff$ M > N.

Nếu M > N đúng thì A > B đúng.

Cách 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức

Từ bất đẳng thức đã biết, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức ${\text{a}}^2+{\text{b}}^2\ge 2\text{ab}$.

Ví dụ 2. Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng $:\frac{\text{a}}{\text{b}}+\frac{\text{b}}{\text{a}}\ge 2$.

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b).

Ví dụ 3. Cho a > b > 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{\text{a}}<\frac{1}{\text{b}}$.

Ví dụ 4. Cho a > b và m > n. Chứng minh rằng a + m > b + n.

Ví dụ 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{\text{a}+\text{b}}{\text{c}}+\frac{\text{b}+\text{c}}{\text{a}}+\frac{\text{c}+\text{a}}{\text{b}}\ge 6$.

Dạng 4. Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức

1. Phương pháp giải

- Nếu $\text{f}\left(\text{x}\right)\ge \text{k}$ (k là hằng số) và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = a thì giá trị nhỏ nhất của f(x) là k khi và chỉ khi x = a. Ta viết min f(x) = k khi và chỉ khi x = a.

- Nếu $\text{f}\left(\text{x}\right)\le \text{k}$ (k là hằng số) và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = a thì giá trị lớn nhất của f(x) là k khi và chỉ khi x = a. Ta viết max f(x) = k khi và chỉ khi x = a.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\text{A}={\text{x}}^2-6\text{x}+10.$

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\text{B}=5{\text{x}}^2-10\text{x}+3.$

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\text{C}=-{\text{x}}^2+5\text{x}-4.$

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\text{D}=5-\text{x}-\frac{1}{\text{x}}$ với x > 0.

Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\text{E}=2{\text{x}}^2+8\text{x}+{\text{y}}^2-10\text{y}+43.$

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\frac{2x-1}{x^2+2}.$

Dạng 5: Bài toán thực tế

Ví dụ 1: Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn xe cơ giới được phép đi (hình bên). Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu biển báo

a) Ô tô ơ làn giữa

b) Xe máy ở làn bên phải

Ví dụ 2: Gọi a là số tuổi của bạn Na, b là số tuổi của bạn Toàn, biết rằng bạn Toàn lớn hơn tuổi của bạn Na. Hãy dùng bất đẳng thức để biểu diễn mối quan hệ về tuổi của hai bạn đó ở hiện tại và sau ba năm nữa

Ví dụ 3: Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại mọt trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là 60 000 đồng và mỗi suất ăn sáng là 30 000 đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Ví dụ 4: Một ca nô đi xuôi dòng trong 2 giờ 30 phút. Biết rằng tốc độ ca nô khi nước yên lặng không quá 40 km/h và tốc độ của dòng nước là 6 km/h. Chứng minh quãng đường ca nô đi được trong thời gian trên không vượt quá 115 km/h

Ví dụ 5: Chỉ số cơ thể, thường được biết đến với tên viết tắt là BMI (tiếng anh là Body Mass Index) cho phép đánh giá thể trạng của một người gầy, bình thường hay béo. Chỉ số cơ thể của người được tính theo công thức sau $BMI=\frac{m}{h^2}$, trong đó m là khối lượng cơ thể tính theo kilogam, h là chiều cao tính theo mét. Căn cứ vào bảng đánh giá thể trạng ở người lớn theo BMI đối với khu vực châu Á-Thái Bình Dương, một người đàn ông có $BMI\ge 30$ sẽ bị béo phì độ II (trung bình) hoặc độ III (nặng), người đó cần phải có biện pháp tập thể dục, thể thao, thay đổi chế dộ dinh dưỡng để có được cơ thể khỏe mạnh (Nguồn: Toán 7- Tập Hai, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017). Bác Dũng có chiều cao 1,65 và cân nặng ít nhất là 82 kg. Hỏi bác Dũng có bị béo phì độ II hoặc độ III không?

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong các cách viết sau, cách viết nào không phải là bất đẳng thức

A. 1 < 2.

B. -3 > -1.

C. a = 2.

D. 3 < b.

Câu 2: Bất đẳng thức a + 1 < 3 có vế trái là

A. a + 1.

B. a.

C. 1.

D. 3.

................................

................................

................................

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán lớp 9 hay khác:

• Chuyên đề Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

• Chuyên đề Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Chuyên đề Căn thức bậc và căn bậc ba

• Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

• Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình

• Chuyên đề Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất

• Chuyên đề Căn thức

• Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình bậc nhất

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---