Căn thức bậc và căn bậc ba (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Tài liệu Chuyên đề Căn thức bậc và căn bậc ba trong Chuyên đề dạy thêm Toán 9 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 9.

Căn thức bậc và căn bậc ba (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 9 (cả 3 sách) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. CĂN BẬC HAI

Định nghĩa

Cho số thực a không âm. Số thực x thoả mãn x² = a được gọi là một căn bậc hai của a.

Ta có kết quả sau đây:

- Mỗi số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương là $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của a), sô âm là -$\sqrt{a}$.

- Số 0 chỉ có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết $\sqrt{0}=0$.

Chú ý:

a) Số âm không có căn bậc hai.

b) Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai căn bậc hai hay phép khai phuơng (gọi tắt là khai phương).

c) Ở lớp 7 ta đã biết, nếu a > b > 0 thì $\sqrt{\text{a}}>\sqrt{\text{b}}$. Từ đó suy ra $-\sqrt{\text{a}}<-\sqrt{\text{b}}<0<\sqrt{\text{b}}<\sqrt{\text{a}}\text{.}$

Ví dụ 1. Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 64;

b) $\frac{9}{16}$;

c) 0,25.

Lời giải

a) Ta có 8² = 64, nên 64 có hai căn bậc hai là 8 và -8 .

b) Ta có ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$, nên $\frac{9}{16}$ có hai căn bậc hai là $\frac{3}{4}$ và $-\frac{3}{4}$.

c) Ta có 0,5² = 0,25, nên 0,25 có hai căn bậc hai là 0,5 và -0,5.

Ví dụ 2. Sử dụng dấu căn bậc hai để viết các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 5;

b) 1,6;

c) -4.

Lời giải

a) Căn bậc hai của 5 là $\sqrt{5}$ và $-\sqrt{5}$.

b) Căn bậc hai của 1,6 là $\sqrt{1,6}$ và $-\sqrt{1,6}$.

c) Do -4 là số âm nên nó không có căn bậc hai.

Chú ý: Từ định nghũa căn bậc hai của một số thực a không âm, ta có ${\left(\sqrt{\text{a}}\right)}^2={(-\sqrt{\text{a}})}^2=\text{a}$ và $\sqrt{{\text{a}}^2}=\text{a.}$

Ví dụ 3. Tính:

a) $\sqrt{81}$;

b) $-\sqrt{\frac{1}{4}}$;

c) $-\sqrt{1,21}$.

Lời giải

a) $\sqrt{81}=\sqrt{9^2}=9$;

b) $-\sqrt{\frac{1}{4}}=-\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=-\frac{1}{2}$;

c) $-\sqrt{1,21}=-\sqrt{1,1^2}=-1,1$.

Ví dụ 4. Tính giá trị của biểu thức $\text{A}=\sqrt{16}+{\left(\sqrt{8}\right)}^2+{(-\sqrt{0,16})}^2.$

Lời giải

$A=\sqrt{16}+{\left(\sqrt{8}\right)}^2+{(-\sqrt{0,16})}^2$$=\sqrt{4^2}+8+0,16$ = 4 + 8 + 0,16 = 12,16.

2. TÍNH CĂN BẬC HAI BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Ta có thể tính được giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai của một số thực không âm bằng máy tính cầm tay.

Ví dụ 5. Sử đụng máy tính cầm tay, tìm (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) $\sqrt{15}$;

b) Các căn bậc hai của 9,45.

Lời giải

a) Để tính $\sqrt{15}$, ấn liên tiếp các nút:

ta được kết quả như hình bên (với một số loại máy tính cầm tay, cần ấn thêm nút để chuyển từ hiển thị dưới dạng có chứa dấu căn sang hiển thị dưới dạng số thập phân).

Từ đó, $\sqrt{15}\approx 3,873$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Để tính $\sqrt{9,45}$, ấn liên tiếp các nút:

ta được kết quả như hình bên. Từ đó, ta có hai căn bậc hai của 9,45 là $\sqrt{9,45}\approx 3,074$ và $-\sqrt{9,45}\approx -3,074$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

3. CĂN BẬC HAI

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt{\text{A}}$ là căn thúc bạcc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức duới dấu căn.

Chú ý:

a) Ta cũng nói $\sqrt{\text{A}}$ là một biểu thức. Biểu thức $\sqrt{\text{A}}$ xác định (hay có nghĩa) khi A nhận giá trị không âm.

b) Khi A nhận giá trị không âm nào đó, khai phương giá trị này ta nhận được giá trị tương ứng của biểu thức $\sqrt{\text{A}}$.

Ví dụ 6. Cho biểu thức $\text{A}=\sqrt{5-2\text{x}}$.

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định?

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = -2 và khi x = 3.

Lời giải

a) Biểu thức A xác định khi $5-2\text{x}\ge 0$ hay $2\text{x}\le 5$ hay $\text{x}\le \frac{5}{2}$.

b) Khi x = -2, ta có $A=\sqrt{5-2\cdot (-2)}=\sqrt{9}=3$.

Ta thấy $\text{x}=3>\frac{5}{2}$ nên A không xác định tại x = 3.

Ví dụ 7. Cho biểu thức $\text{P}=\sqrt{{\text{b}}^2-4\text{ac}}$. Tính giá trị của P khi:

a) a = 3, b = 10, c = 3;

b) a = 2, b = 6, c = 5.

Lời giải

a) Với a = 3, b = 10, c = 3, ta có b² - 4ac = 10² - 4.3.3 = 100 - 36 = 64.

Khi đó, $\text{P}=\sqrt{64}=\sqrt{8^2}=8$.

b) Với a = 2, b = 6, c = 5, ta có b² - 4ac = 6² - 4.2.5 = 36 - 40 = -4. Vì -4 < 0 nên biểu thức P không xác định tại a = 2, b = 6, c = 5.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: So sánh hai số

1. Phương pháp

Áp dụng: Với $a\ge 0,b\ge 0$ ta có: $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}.$

2. Ví dụ minh

Ví dụ 1: So sánh:

a) 3 và $\sqrt{5}$

b) 8 và $\sqrt{63}$

c) 9 và $\sqrt{79}$

Ví dụ 2: So sánh các số:

a. $2\sqrt{31}$ và 10

b. $2+\sqrt{3}$ và $3+\sqrt{2}$.

Ví dụ 3. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 8 và $\sqrt{65}$.

Ví dụ 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh $\sqrt{15}-1$ và $\sqrt{10}$.

Ví dụ 5. Với a < 0 thì số nào lớn hơn trong hai số $\sqrt{-a}$ và $\sqrt{-2\text{a}}$?

Dạng 2. Tìm x thỏa điều kiện cho trước

1. Phương pháp giải

Với $a\ge 0$:

• x² = a khi $x=\pm \sqrt{a}$.

• $\sqrt{x}$ = a khi x = a².

• $\sqrt{x}$ < a khi $0\le x<a^2$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) x² = 4,5.

b) x² = 5.

c) x² = 7,5.

d) x² = 9,12.

Ví dụ 2: Tìm x sao cho

a. x² = 16.

b. x² = $\frac{9}{25}$.

c. x² = -4.

Ví dụ 3. Tìm x không âm, biết:

a) $\sqrt{x}=15;$

b) $2\sqrt{x}=14;$

c) $\sqrt{x}<\sqrt{2};$

d) $\sqrt{2x}<4.$

Ví dụ 4. Tính cạnh của một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m và chiều dài 14 m.

Dạng 3. Tìm điều kiện để $\sqrt{A}$ có nghĩa

1. Phương pháp giải

① $\sqrt{A}$ có nghĩa thì $A\ge 0.$

② $\sqrt{\frac{1}{A}}$ có nghĩa thì $A>0.$

2. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{a}{3}};$

b) $\sqrt{4-a};$

c) $\sqrt{-5a};$

d) $\sqrt{3a+7}.$

Ví dụ 2: Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{2x+7};$

b) $\sqrt{-3x+4};$

c) $\sqrt{\frac{1}{-1+x}};$

d) $\sqrt{1+x^2}.$

Ví dụ 3: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{1}{a^2}};$

b) $\sqrt{\frac{a^2+1}{1-2a}};$

c) $\sqrt{a^2-1};$

d) $\sqrt{4-a^2}.$

Dạng 4. Tính giá trị biểu thức

1. Phương pháp giải

Áp dụng:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính:

a) $\sqrt{{\left(0,1\right)}^2};$

b) $\sqrt{{\left(-0,3\right)}^2};$

c) $-\sqrt{{\left(-1,3\right)}^2};$

d) $-0,4\sqrt{{\left(-0,4\right)}^2}.$

Ví dụ 2: Tính:

a) $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49};$

b) $36:\sqrt{{2.3}^2.18}-\sqrt{169};$

c) $\sqrt{\sqrt{81}};$

d) $\sqrt{3^2+4^2}.$

................................

................................

................................

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán lớp 9 hay khác:

• Chuyên đề Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

• Chuyên đề Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

• Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình

• Chuyên đề Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất

• Chuyên đề Căn thức

• Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình bậc nhất

• Chuyên đề Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---