Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết)
Bài viết Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.
Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
Cho hệ phương trình
- Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
- Từ hai phương trình của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới gồm một ẩn. Khi đó số nghiệm của phương trình mới bằng số nghiệm hệ phương trình đã cho.
Chú ý: Với trường hợp
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ;
Hệ phương trình vô nghiệm ;
Hệ phương trình vô số nghiệm .
II. Dạng bài tập
Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải: Để giải và biện luận hệ phương trình (*) ta làm như sau:
Bước 1: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản đã học như thế, cộng đại số, ta thu được phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện luận hệ phương trình đã cho.
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình (*) bằng số nghiệm của phương trình mới.
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với m là tham số
(*)
a) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
b) Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Lời giải:
a)
Từ (1) ta có: x = 2m – my thay vào (2) ta được:
(**)
Để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì phương trình (**) phải có nghiệm duy nhất.
(**) có nghiệm duy nhất
Khi đó:
Vì
Hệ phương trình có nghiêm duy nhất khi và chỉ khi và nghiệm duy nhất đó là .
b) Để hệ (*) vô nghiệm thì phương trình (**) phải vô nghiệm.
(**) vô nghiệm
Vậy m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình với m là tham số
(I)
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm.
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có:
y = mx – 2m thay vào phương trình (2) ta có:
(II)
Để hệ phương trình (I) có nghiệm thì phương trình (II) phải có nghiệm.
Để phương trình (II) có nghiệm ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (II) có nghiệm duy nhất
Trường hợp 2: Phương trình (II) có vô số nghiệm
Kết hợp hai trường hợp ta được thì hệ phương trình luôn có nghiệm.
Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có).
Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.
Bước 4: Thay x; y vào điều kiện đề bài và giải điều kiện.
Bước 5: Kết luận.
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:
(với m là tham số)
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x < 0; y > 0.
Lời giải:
a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với m = 3 thì hệ phương trình vô nghiệm nên hệ này có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất
Theo bài ra ta có:
Để y > 0
Để x < 0
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
(vô lí)
Kết hợp điều kiện x và y ta thấy để y > 0 và x < 0 thì 3 < m < 4.
Ví dụ 2: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x; y) và x; y nguyên.
(m là tham số).
Lời giải:
+ Với m = 0 khi đó hệ trở thành:
(loại vì không phải nghiệm nguyên)
+ Với hệ phương trình có nghiệm duy nhẩt
Ta có:
Để x nguyên thì
Ta có:
Để thì
Hay Ư(3)
Ư(3) =
m + 2 |
-3 |
-1 |
1 |
3 |
m |
-5 |
-3 |
-1 |
1 |
Để y nguyên thì
Ta có:
= 2 -
Để thì (tương tự câu a)
Vậy để hệ phương trình có nghiệm (x; y) nguyên thì .
Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các ẩn trong hệ phương trình không phụ thuộc vào tham số m.
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế làm mất tham số m.
Bước 3: Kết luận
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau:
(m là tham số)
Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.
Lời giải:
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta được:
x(-x – y) + y = -1
Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là .
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
(m là tham số)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.
Lời giải:
Từ (1) ta có: m = x + y – 4 thay vào (2) ta được:
2x + 3y = 4(x + y – 4)
2x + 3y = 4x + 4y – 16
4x +4y – 16 – 2x – 3y = 0
2x + y - 16 = 0
Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m là 2x + y – 16 = 0.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hệ phương trình (m là tham số). Tìm điều kiện của m để hệ phương trình vô số nghiệm.
Bài 2: Cho hệ phương trình (m là tham số)
a) Tìm m để hẹ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x; y nguyên.
Bài 3: Cho hệ phương trình (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.
Bài 4: Cho hệ phương trình (m là tham số)
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x nguyên; y nguyên.
Bài 5: Cho hệ phương trình (m là tham số)
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhât (x; y) thỏa mãn x > 2; y > 0.
Bài 6: Cho hệ phương trình (m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 2.
Bài 7: Cho hệ phương trình (với m là tham số)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 8: Cho hệ phương trình (với m là tham số)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 9: Cho hệ phương trình (với m là tham số)
Tìm m để 2x – 3y = 0.
Bài 10: Cho hệ phương trình (với m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m = -1.
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -6).
c) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
e) Tìm m để 4x + 3y = 7
f) Tìm m để x – y > 0.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và cách giải bài tập
- Cách xác định đường tròn và tính chất đối xứng của đường tròn và cách giải
- Các dạng toán về dây cung của đường tròn và cách giải bài tập
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải
- Các dạng toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải bài tập
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Lớp 9 Kết nối tri thức
- Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 9 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
- Giải sgk Tin học 9 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
- Lớp 9 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 9 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
- Giải sgk Tin học 9 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
- Lớp 9 Cánh diều
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều