Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết)



Bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải

I. Lý thuyết

Cho đường thẳng Δ và đường tròn (O; R). Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Δ. Ta có ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn như sau:

Trường hợp 1: Nếu Δ không cắt (O)  thì OH > R ; Δ và (O) không có điểm chung. Ta nói đường thẳng ∆ và đường tròn (O) không giao nhau.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Trường hợp 2: Nếu Δ và (O) tiếp xúc nhau thì OH = R; Δ và (O) có một điểm chung. Điểm chung đó là H. Khi đó, Δ là tiếp tuyết của đường tròn (O).

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Trường hợp 3: Nếu Δ và (O) cắt nhau thì OH < R; Δ và (O) có hai điểm chung là A và B. Khi đó, ta gọi đường thẳng Δ là cát tuyến của đường tròn (O).

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

2. Định nghĩa về tiếp tuyến

Nếu đường thẳng Δ và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung thì ta nói Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

3. Định lý về tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm của đường tròn đó.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Có Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm H, khi đó OHΔtại H.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Cho biết bán kính đường tròn và khoảng cách từ tâm đến đường thẳng, xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Phương pháp giải: Gọi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng là d; bán kính là R ta so sánh d với R rồi dựa vào kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn để kết luận.

+ Nếu d > R thù đường thẳng và đường tròn không cắt nhau.

+ Nếu d = R thì đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.

+ Nếu d < R thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Ví dụ 1: Cho điểm B(2;4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (B; 3) với hai trục Ox; Oy.

Lời giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Vẽ BC  OyBC = 2

Vẽ BD OxBD = 4

Vì BC < R (2 < 3) nên đường tròn cắt trục Oy tại hai điểm E và F  hay (B) cắt trục Oy

Vì BD > R (4 > 3) nên đường tròn và trục Ox không có điểm chung hay (B) và Ox không cắt nhau.

Ví dụ 2: Điền vào chỗ chấm biết R là bán kính đường tròn và d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.

R

d

Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

5cm

6cm

……………………..

6cm

5cm

……………………..

7cm

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

11cm

11cm

…………………….

Lời giải:

R

d

Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

5cm

6cm

Đường thẳng không cắt đường tròn

6cm

5cm

Đường thẳng cắt đường tròn

7cm

7cm

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

11cm

11cm

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Dạng 2: Xác định vị trí tâm đường tròn có bán kính cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước

Phương pháp giải: Xác định khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng cho trước rồi sử dụng tính chất điểm cách đều một đường thẳng cho trước một khoảng cách không đổi.

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau cách nhau một khoảng là 4cm. Lấy điểm O trên a vẽ đường tròn (O; 4cm). Chứng minh O tiếp xúc với b.

Lời giải:

Vì Oa nên O cũng cách b một khoảng 4cm.

Mà bán kính đường tròn cũng là 4cm

(O;4cm) tiếp xúc với b.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d1d2 song song với nhau và cách nhau một khoảng 6cm. Vẽ đường tròn (O;4cm) có tâm O nằm trên đường thẳng song song với d1 và d2 cách d1 là 4cm và cách d2 là 2cm. Chứng minh (O;4cm) tiếp xúc với d1 và cắt d2.

Lời giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Gọi G hình chiếu của O lên d2OG là khoảng cách từ O đến d2

Vì O nằm trên đường thẳng song song với d2 và cách d2 một khoảng là 2cm nên OG = 2cm

Ta có: OG < R (2 < 4) nên (O;4cm) cắt d2

Gọi I là hình chiếu của O lên d1OI là khoảng cách từ O đến d1

Vì O nằm trên đường thẳng song song với d1 và cách d1 một khoảng là 4cm nên OI = 4cm

Ta có: OI = R = 4cm nên (O;4cm) tiếp xúc với d1.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau cách nhau một khoảng 6cm. Một đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1d2. Hỏi tâm O nằm trên đường nào.

Lời giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Vẽ OGd1OG là khoảng cách từ O đến d1

Vẽ OEd2OE là khoảng cách từ O đến d2

Vì (O) tiếp xúc với d1d2OG = OE = R (với R là bán kính đường tròn)

d1 và d2 cách nhau một khoảng 6cm

Do đó OG = OE = 3cm

Vậy tâm O nằm trên đường thẳng cách d1d2 là 3cm. Đường thẳng đó song song với d1d2.

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy H sao cho BH = AB. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD cắt AD tại O.

a) So sánh OA; OH và HD.

b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA).

Lời giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Xét ΔOABΔOHB có:

OB chung

AB = BH (giả thuyết)

OAB^=OHB^=90°

Do đó ΔOAB=ΔOHB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

OA = OH (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác OHD vuông tại H có ODH^=45° (do BD là đường chéo của hình vuông ABCD)

ΔOHDlà tam giác vuông cân tại H

OH = HD (2)

Từ (1) và (2) OH = HD = OA

b) Vì OA = OH và OHBD nên BD là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA)

Vậy BD tiếp xúc với (O;OA).

Dạng 3: Bài toán liên quan đến tính độ dài

Phương pháp giải: Nối tâm với điểm rồi vận dụng định lí về tính chất của tiếp tuyến và định lý Py – ta – go.

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 8cm và một điểm A cách O là 10cm. Kẻ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm. Tính AB.

Lời giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Vì AB là tiếp tuyến của (O), B là tiếp điểm nên ABOB

Xét tam giác OAB vuông tại B ta có:

OB2+AB2=OA2(định lý Py – ta – go)

Thay OA = 10cm; OB = 8cm ta có:

82+AB2=102

64+AB2=100

AB2=10064

AB2=36

AB=6

Vậy AB = 6cm.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;8), Từ M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AM và BM sao cho AMBM tại M với A, B là hai tiếp điểm.

a) Tính AM và BM.

b) Gọi I là giao điểm của OM với (O) (I nằm giữa O và M). Tại I kẻ tiếp tuyến với (O) và cắt OA, OB lần lượt ở C và D. Tính CD.

Lời giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Vì A, B là tiếp điểm nên OAAM và OBBMOBM^=OAM^=90°

Lại có: MAMBAMB^=90°

Xét tứ giác OBMA có:

OBM^=OAM^=AMB^=90°

tứ giác OBMA là hình chữ nhật

Lại có OB = OA = R

Do đó tứ giác OBMA là hình vuông

OA=OB=MA=MB

Mà OA = OB = R = 8

Nên MA = MB = 8 (đơn vị độ dài)

b) Vì OBMA là hình vuông nên OM là đường phân giác góc O

AOM^=BOM^=45°

Vì CD là tiếp tuyến; I là tiếp điểm nên CDOI

Xét tam giác OIC vuông tại I ta có:

COI^=45°

tam giác OIC cân tạI I (tính chất)

IC = IO = R = 8

Xét tam giác OID vuông tại I ta có:

DOI^=45°

Tam giác OID cân tại I

ID = IO = 8

Ta có:

CD = ID + IC = 8 + 8 = 16 (đơn vị độ dài).

III. Bài tập tự luyện

Phần 1: Trắc nghiệm

Câu 1: Câu nào sau đây là đúng.

A. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi đường thẳng có một giao điểm với đường tròn.

B. Đường thẳng cắt đường tròn khi đường thẳng có một giao điểm với đường tròn.

C. Đường thẳng không cắt đường tròn khi khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính.

D. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

Câu 2: Cho (O;6cm) và đường thẳng a. Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a. Điều kiện để a cắt O là:

A. Khoảng cách d < 6cm

B. Khoảng cách d = 6cm

C. Khoảng cách d > 6cm

D. Khoảng cách d6cm

Câu 3: Cho điểm A(3;4). Khi đó đường tròn (A;4) sẽ có vị trí như thế nào với hai trục Ox; Oy.

A. Cắt Ox và tiếp xúc với Oy

B. Cắt cả Ox và Oy

C. Cắt Oy và tiếp xúc với Ox

D. Tiếp xúc với Ox và không giao với Oy

Câu 4: Cho đường thẳng d. Tâm các đường tròn có bán kính là 2 và tiếp xúc với d nằm trên đường nào?

A. Một đường thẳng song song với d cách d một khoảng bằng 1cm

B. Một đường thẳng song song với d cách d một khoảng là 2cm

C. Hai đường thẳng song song với d cách d một khoảng là 1cm

D.Hai đường thẳng song song với d cách d một khoảng là 2cm

Phần 2: Tự luận

Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;5). Vẽ đường tròn (A;3). Xác định vị trí tương đối của (A;3) với hai trục Ox; Oy.

Bài 2: Xác định tâm đường tròn có bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng d nằm trên đường nào.

Bài 3: Cho đường tròn (O;R) và dây AB=85R, vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại M và N. Tính diện tích tam giác OMN theo R.

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm F thuộc đoạn OB. Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt AB tại E.

Chứng minh EF = ED.

Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm

a) Chứng minh (A;13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi giao điểm của (A;13cm) với xy là C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến trên AC, BD đến đường tròn (M)

a) Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Chứng minh AC + BD không đổi.

c) Tính giá trị lớn nhất của AC.BD.

Bài 7: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên tia đối tia AB lấy điểm C. Từ C kẻ tiếp tuyến CD với (O). Kẻ DHAB tại H

Chứng minh: CH.CO = CA.CB.

Bài 8: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) và gọi d là tiếp tuyến qua C với (O). Kẻ AE và BF cùng vuông góc với d; CH vuông góc với AB.

a) Chứng minh: CE = CF và CH2=AE.BF.

b) Khi C di chuyển trên nửa đường tròn, tìm vị trí của C để EF lớn nhất.

Đáp án trắc nghiệm

Câu 1: A

Câu 2: A

Câu 3: C

Câu 4: D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.




Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên