Giải bài tập Toán lớp 7 Luyện tập trang 67

Giải bài tập Toán lớp 7 Luyện tập trang 67

Bài 26 trang 67 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 0:26) : Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN.

Ta có: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A)

⇒ AM = AN.

Xét ΔABM và ΔACN có:

AM = AN

AB = AC

Góc A chung

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng).

(Còn một số cách chứng minh khác, nhưng do giới hạn kiến thức lớp 7 nên mình xin sẽ không trình bày.)

Bài 27 trang 67 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 6:54) : Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

⇒ G là trọng tâm của tam giác

Mà BM = CN (theo gt) ⇒ GB = GC ⇒ GM = GN.

Xét ΔGNB và ΔGMC có :

GN = GM (cmt)

GB = GC (cmt)

⇒ ΔGNB = ΔGMC (c.g.c) ⇒ NB = MC.

Lại có AB = 2.BN, AC = 2.CM (do M, N là trung điểm AC, AB)

⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A.

Bài 28 trang 67 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 16:16) : Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Lời giải:

a) Xét ΔDEI và ΔDFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF (gt)

IE = IF (I là trung điểm EF)

⇒ ΔDEI = ΔDFI (c.c.c)

b) Vì ΔDEI = ΔDFI (cmt)

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = EF/2 = 5cm.

Ta có : ⇒ ΔDIE vuông tại I

Theo định lý Pitago trong tam giác vuông DIE ta có :

DE ² = DI ² + EI ² ⇒ DI ² = DE ² – EI ² = 13 ² – 5 ² = 144 ⇒ DI = 12 (cm).

Bài 29 trang 67 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 27:53) : Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:

GA = GB = GC

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26.

Mời bạn tham khảo lời giải Bài 26 trang 67 sgk Toán lớp 7 Tập 2 .

Lời giải:

Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.

Khi đó AM, BN, CP đồng quy tại trọng tâm G.

Ta có: ∆ABC đều suy ra:

+ ∆ABC cân tại A ⇒ BN = CP (theo chứng minh bài 26).

+ ∆ABC cân tại B ⇒ AM = CP (theo chứng minh bài 26).

⇒ AM = BN = CP (1)

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:

Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

Bài 30 trang 67 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 30:52) : Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'.

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.

⇒ AM, BN, CP là các đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:

GB = 2/3.BN (1)

GA = 2/3.AM, mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) ⇒ GG’ = 2/3.AM (2)

GM=1/2.AG, mà AG=GG’ ⇒ GM=1/2.GG’ ⇒ M là trung điểm của GG’ hay GM = G'M .

Xét ΔGMC và ΔG’MB có:

      GM = G’M (chứng minh trên)

     

      MC = MB

⇒ ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c)

⇒ GC = G’B (hai cạnh tương ứng).

Mà CG = 2/3.CP (tính chất đường trung tuyến) ⇒ G’B = 2/3.CP (3)

Từ (1), (2), (3) ta có : GG’ = 2/3.AM , GB = 2/3.BN, G’B = 2/3.CP.

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG, BG’.

* M là trung điểm GG’⇒ BM là đường trung tuyến ΔBGG.

Mà M là trung điểm BC ⇒ BM = ½ .BC (4)

Xét ΔIGG’ và ΔNGA có:

      IG = GN (chứng minh trên)

     

      GG’ = GA (Vì G là trung điểm AG’)

⇒ ΔIGG’ = ΔNGA (c.g.c)

⇒ G’I = AN (hai cạnh tương ứng)

Mà GC = BG’ (chứng minh phần a))

⇒ Nên PG = BK.

ΔGMC = ΔG’MB (chứng minh câu a)

Xét ΔPGB và ΔKBG có:

      PG = BK (chứng minh trên)

     

      BG chung

⇒ ΔPGB = ΔKBG (c.g.c)

⇒ PB = GK (hai cạnh tương ứng)

Xem thêm Video Giải bài tập Toán lớp 7 hay và chi tiết khác:

• Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc - Luyện tập trang 70-71)
• Luyện tập trang 70-71
• Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Luyện tập trang 73)
• Luyện tập trang 73
• Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Luyện tập trang 76-77)

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---