Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H

Giải sách bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông - Kết nối tri thức

Bài 9.47 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập : Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;

b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;

c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.

Lời giải:

a)

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.

Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:

$\widehat{AHE}=\widehat{BHD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (góc nhọn).

Suy ra $\frac{AH}{BH}=\frac{HE}{HD}$ nên HA . HD = HB . HE (1).

Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:

 $\widehat{BHF}=\widehat{EHC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (góc nhọn).

Suy ra $\frac{HB}{HC}=\frac{HF}{HE}$  nên HB . HE = HC . HF (2).

Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.

b)

Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:

 $\widehat{BAC}$ chung.c

Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (góc nhọn)

Suy ra $\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$  nên AF . AB = AE . AC.

c)

Vì HA . HD = HB . HE nên $\frac{HA}{HE}=\frac{HB}{HD}$

Tam giác HAB và tam giác HED có:

 $\frac{HA}{HE}=\frac{HB}{HD}$ (cmt)

$\widehat{AHB}=\widehat{EHD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{HAB}=\widehat{HED}$ .

Mà $\widehat{HAB}+\widehat{FBD}=\widehat{HED}+\widehat{DEC}$  (= $90°$ ).

Do đó, $\widehat{FBD}=\widehat{DEC}$.

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{BFD}=\widehat{ECD}$ .

Tam giác BDF và tam giác EDC có:

$\widehat{FBD}=\widehat{DEC}$ (cmt)

$\widehat{BFD}=\widehat{ECD}$ (cmt)

Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).

Suy ra: $\widehat{BDF}=\widehat{EDC}$ .

Mà $\widehat{BDF}+\widehat{FDH}=\widehat{EDC}+\widehat{HDE}\left(=90°\right)$ .

Do đó, $\widehat{FDH}=\widehat{HDE}$  hay $\widehat{FDA}=\widehat{ADE}$ .

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông hay khác:

• Bài 9.42 trang 62 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Những điều kiện nào dưới đây kéo theo hai tam giác vuông...

• Bài 9.43 trang 62 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác MNP có MN = MP = 4 cm ...

• Bài 9.44 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Hãy liệt kê ba cặp tam giác vuông trong Hình 9.10 đồng dạng...

• Bài 9.45 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc ...

• Bài 9.46 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng AB = 6 cm và AC = 8 cm...

• Bài 9.48 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng...

• Bài 9.49 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC ...

• Bài 9.50 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD như Hình 9.11. Biết rằng , AD = 4 cm, BD = 6 cm và BC = 9 cm ...

• Bài 9.51 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt ...

• Bài 9.52 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: :Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'...

• Bài 9.53 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 9

• SBT Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều

• SBT Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 10

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức

Loạt bài Giải SBT Toán 8 Tập 1 & Tập 2 hay, chi tiết của chúng tôi được biên soạn bám sát Sách bài tập Toán 8 Kết nối tri thức (NXB Giáo dục).

---