Giải Toán 10 trang 50 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 50 Tập 1 trong Bài 7: Các khái niệm mở đầu Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 50.

Giải Toán 10 trang 50 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 50 Toán 10 Tập 1: Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế $\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$ của ca nô A, B.

b) Trong các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$, những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Lời giải:

a) Ta có vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h nên độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v}$ là 3 km/h.

Do ca nô A chạy xuôi dòng nên vận tốc thực tế của ca nô A bằng 15 + 3 = 18 km/h hay độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v_a}$ là 18 km/h.

Do ca nô B chạy ngược dòng nên vận tốc thực tế của ca nô B bằng 15 – 3 = 12 km/h hay độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v_b}$ là 12 km/h.

Khi đó, ta có tỉ lệ độ dài giữa các vectơ là $\left|\overrightarrow{v}\right|:\left|\overrightarrow{v_a}\right|:\left|\overrightarrow{v_b}\right|$ = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.

Giả sử dòng nước chảy theo chiều từ trái qua phải, khi đó ca nô A chạy xuôi dòng từ trái qua phải và ca nô B chạy ngược dòng từ phải qua trái. Ta có sơ đồ như sau:

b) Do ca nô A chạy xuôi dòng nên các vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_a}$ cùng phương và cùng hướng, do ca nô B chạy ngược dòng nên các vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_b}$ cùng phương và ngược hướng.

Vậy trong các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$ có:

- các cặp vectơ cùng phương là: $\overrightarrow{v_a}$ và $\overrightarrow{v_b}$; $\overrightarrow{v_a}$ và $\overrightarrow{v}$; $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_b}$.

- các cặp vectơ ngược hướng là: $\overrightarrow{v_a}$ và $\overrightarrow{v_b}$; $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_b}$.

Bài 4.1 trang 50 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{0}$;

b) Nếu $\overrightarrow{b}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$thì $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$;

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương;

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Lời giải:

+ Mọi vectơ đều cùng phương, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{0}$. Do đó a) đúng.

+ Nếu $\overrightarrow{b}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ thì hoặc $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ hoặc $\overrightarrow{b}$ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$, bởi vậy chưa thể kết luận được $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$. Do đó b) sai.

+ Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá song song hoặc trùng với giá của $\overrightarrow{c}$:

 Suy ra $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá song song hoặc trùng nhau. Do đó $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương. Suy ra c) đúng.

+ Nếu $\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì giá của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ song song hoặc trùng nhau, hướng từ gốc đến ngọn của $\overrightarrow{a}$ trùng với hướng từ gốc đến ngọn của $\overrightarrow{c}$; nếu $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì giá của $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ song song hoặc trùng nhau, hướng từ gốc đến ngọn của $\overrightarrow{b}$ trùng với hướng từ gốc đến ngọn của $\overrightarrow{c}$. Từ đó suy ra giá của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ song song hoặc trùng nhau, hướng từ gốc đến ngọn của $\overrightarrow{a}$ trùng với hướng từ gốc đến ngọn của $\overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với nhau. Vậy khẳng định d) là đúng.

Theo quan sát hình vẽ, ta thấy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với nhau. Do đó d) đúng

Bài 4.2 trang 50 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Lời giải:

Quan sát hình vẽ, ta có: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ có giá song song với nhau, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{d},\overrightarrow{c}$ có cùng độ dài (cạnh huyền của các tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 và 4).

Do đó ta có:

+ Các cặp vectơ cùng phương là: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$.

+ Các cặp vectơ ngược hướng: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$.

+ Cặp vectơ bằng nhau là: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ (do chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau).

Bài 4.3 trang 50 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

+) Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành

⇒ AD // BC (tính chất hình bình hành)

⇒ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương ⇒ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành) hay $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$. Do đó, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.  

+) Giả sử tứ giác ABCD có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ suy ra $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài.

Þ BC = AD (1) và AD, BC song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai đường thẳng AD, BC trùng nhau thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng, điều này không xảy ra vì ABCD là tứ giác. Vậy AD // BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Bài 4.4 trang 50 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập S gồm tất cả các vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Lời giải:

Các vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CO}, \\ \overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD} \end{gathered}$$

Khi đó:

Các cặp vectơ bằng nhau trong tập hợp S là:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}; \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC};$

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}; \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB};$ 

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}; \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC};$

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{\text{}BO}; \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB};$

Khi đó tập S được chia thành các nhóm là:

Nhóm 1: $\left\{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}\right\};$

Nhóm 2: $\left\{\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC}\right\};$

Nhóm 3: $\left\{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD}\right\};$

Nhóm 4: $\left\{\overrightarrow{DA};\overrightarrow{CB}\right\};$

Nhóm 5: $\left\{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CO}\right\};$

Nhóm 6: $\left\{\overrightarrow{AO};\overrightarrow{OC}\right\};$

Nhóm 7: $\left\{\overrightarrow{OD};\overrightarrow{\text{}BO}\right\};$

Nhóm 8: $\left\{\overrightarrow{DO};\overrightarrow{OB}\right\}.$

Bài 4.5 trang 50 Toán 10 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{MN}$ với A(1;2), M(0;-1), N(3;5)

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?

Lời giải:

a) Dựng các điểm B(0; 2) và K(0; 5).

Khi đó OB = 2, BA = 1, MK = 6, KN = 3.

Suy ra hai tam giác OAB và MNK là các tam giác vuông đồng dạng.

Do đó $\widehat{BOA}=\widehat{KMN}$.

Suy ra OA // MN và $\frac{MN}{OA}=\frac{KN}{BA}=\frac{MK}{OB}=3$.

Như vậy, hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng và vectơ $\overrightarrow{MN}$ có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ $\overrightarrow{OA}$.

b) Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng nên khi vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$ thì vật thể đó sẽ đi qua điểm N.

Hơn nữa, sau mỗi giờ vật đó đi được quãng đường bằng $\overrightarrow{OA}$ và $\left|\overrightarrow{MN}\right|=3\left|\overrightarrow{OA}\right|$.

Vậy nếu coi độ lớn của OA là một đơn vị giờ thì sau khi khởi hành 3 giờ vật sẽ tới N.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu hay khác:

• Giải Toán 10 trang 46
• Giải Toán 10 trang 47
• Giải Toán 10 trang 48
• Giải Toán 10 trang 49

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Bài 9: Tích của một vectơ với một số

• Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

• Bài tập cuối chương IV

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---