Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 trong Bài tập cuối chương IV Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 71.

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.27 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(\frac{1}{2};6\right)$.

B. $\overrightarrow{a}=\left(\sqrt{2};6\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;3\sqrt{2}\right)$.

C. $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$ và $\overrightarrow{j}=\left(1;0\right)$.

D. $\overrightarrow{c}=\left(1;3\right)$ và $\overrightarrow{d}=\left(2;-6\right)$.

Lời giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ không cùng phương vì $\frac{2}{\frac{1}{2}}\ne \frac{3}{6}$. Do đó A sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng phương vì $\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Do đó B đúng.

Hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ là hai vectơ không cùng phương vì đây là hai vectơ đơn vị, chúng vuông góc với nhau. Do đó C sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$ là hai vectơ không cùng phương vì $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{-6}$. Do đó D sai.

Chọn B.

Bài 4.28 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(4;6\right)$.

B. $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-1;1\right)$.

C. $z=\left(a;b\right)$ và $\overrightarrow{t}=\left(-b;a\right)$.

D. $\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)$ và $\overrightarrow{k}=\left(2;0\right)$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = 2.4 + 3.6 = 8+18 = 26 ≠ 0. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không vuông góc. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 1.(–1) + (–1).1 = –1 + (–1) = –2 ≠ 0. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow{z}.\overrightarrow{t}$ = a.(–b) + b.a = –ab + ab = 0. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{z},\overrightarrow{t}$ vuông góc với nhau. Do đó C đúng.

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}$ = 1.2 + 1.0 = 2 +0 = 2 ≠ 0.Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}$ không vuông góc. Do đó D sai.

Chọn C.

Bài 4.29 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\overrightarrow{a}=\left(1;1\right)$;

B. $\overrightarrow{b}=\left(1;-1\right)$;

C. $\overrightarrow{c}=\left(2;\frac{1}{2}\right)$;

D. $\overrightarrow{d}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{a}=\left(1;1\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ne 1$. Do đó A sai.

Vì $\overrightarrow{b}=\left(1;-1\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}\ne 1$. Do đó B sai.

Vì $\overrightarrow{c}=\left(2;\frac{1}{2}\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{17}{4}}\ne 1$. Do đó C sai.

Vì $\overrightarrow{d}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{d}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)}^2}=1$. Do đó D đúng.

Chọn D

Bài 4.30 trang 71 Toán 10 Tập 1: Góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$ và vectơ $\overrightarrow{b}=\left(-2;0\right)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-2\right)+\left(-1\right).0=-2$,

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+0^2}=2$.

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=135°$.

Chọn C

Bài 4.31 trang 71 Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\right).$

B. ${\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2.$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

D. $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.$

Lời giải:

Theo tính chất của tích vô hướng ta có:

$\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ)

Chọn D

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=45°.$

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

Lời giải:

Lấy các điểm E, F sao cho ABDE, ABFC là các hình bình hành.

Do ABCD là hình vuông nên DB là tia phân giác góc ADC, do đó $\widehat{ADB}=45°$.

Suy ra $\widehat{EAD}=\widehat{ADB}=45°$ (AE // BD, góc ở vị trí so le trong).

Suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{BAD}+\widehat{EAD}$ = 90° + 45° = 135°.

Vì ABDE là hình bình hành nên $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AE}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}\right)=\widehat{BAE}=135°.$ Do đó A sai.

Vì ABFC là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BF}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BF},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBF}=45°$ (do $\widehat{CBF}=\widehat{ACB}=45°$)

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=AC.BC.cos\widehat{CBF}$ = $\sqrt{2}a.a.c\text{os45}°$ = a². Do đó B đúng.

Ta có AC ⊥ BD $\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=BA.BD.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}\right)$

$=BA.BD.\cos \widehat{ABD}$ $=a.a\sqrt{2}.c\text{os45}°$ = a². Do đó D sai.

Bài 4.33 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

Lời giải:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ là hai vectơ ngược hướng và MB = 3MC nên ta có: $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$.

Vậy mối liên hệ là: $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}.$

b) Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương IV hay khác:

• Giải Toán 10 trang 72

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 12: Số gần đúng và sai số

• Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

• Bài tập cuối chương V

• Tìm hiểu một số kiến thức về tài chính

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---