Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 trong Bài tập cuối chương IV Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 72.

Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD. Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và

$$\begin{gathered} VT=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} \\ =\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} VP=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD} \\ =\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}; \end{gathered}$$

=> VT = VP (đpcm).

Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}.$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{BA}=\left(4;-4\right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left(-3;-3\right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ = 4.(–3) + (–4).(–3) = –12 + 12 = 0

⇒ BA ⊥ BC

∆ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC$

$=\frac{1}{2}.\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2}.\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}$

$=\frac{1}{2}.4\sqrt{2}.3\sqrt{2}=12$ (đvdt)

Ta có: AB = $4\sqrt{2}$, BC = $3\sqrt{2}$, $\overrightarrow{AC}=\left(-7;1\right)$ => AC = $\sqrt{{\left(-7\right)}^2+1^2}=5\sqrt{2}$.

Chu vi của tam giác ABC là:

P = AB + BC + AC = $4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ (đvđd).

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2+\left(-2\right)+\left(-5\right)}{3}=\frac{-5}{3}\\ y_G=\frac{1+5+2}{3}=\frac{8}{3}\end{array}\right.$

$\Rightarrow G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right).$

d) Giả sử D(x; y).

Để tứ giác BCAD là hình bình hành khi $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DA}=\left(2-x;1-y\right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left(-3;-3\right)$

Khi đó, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2-x=-3\\ 1-y=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}\right.\Rightarrow D\left(5;4\right)$.

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4), C(-1;-2) và D(6;5)

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a;1). Tìm a để vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$ và $\overrightarrow{CD}=\left(7;7\right)$.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương vì $\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$ hay $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{7}\overrightarrow{CD}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(-2;-4\right)$ và $\overrightarrow{BE}=\left(a-3;-3\right)$

Để hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương khi

$\frac{a-3}{-2}=\frac{-3}{-4}$$\iff -4\left(a-3\right)=6$

$\iff a-3=-\frac{3}{2}\iff a=\frac{3}{2}$.

Vậy $a=\frac{3}{2}$ thì hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương

d) Với $a=\frac{3}{2}\Rightarrow E\left(\frac{3}{2};1\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{2};-1\right)$,

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-2;-4\right)$

Tồn tại hai số thực u, v thỏa mãn: $\overrightarrow{AE}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}=u.2+v.\left(-2\right)\\ -1=u.2+v.\left(-4\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2u-2v=\frac{1}{2}\\ 2u-4v=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=1\\ v=\frac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

Lời giải:

Ta có: vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$ có độ dài bằng $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}\right|=\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}.\left|\overrightarrow{a}\right|=1$. Từ đó, do $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}>0$, suy ra $\overrightarrow{u}$là vectơ đơn vị, cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{u}$ với $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$ và $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\overrightarrow{u}$ có tọa độ là $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a};\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right)$.

b) $\overrightarrow{u}=\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\left(1;0\right)$ và $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\left(0;1\right)$

Gọi tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\left(c;d\right)$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}=1.c+0.d=c;$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}=0.c+1.d=d;$

Vì vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a};\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).$

b) Ta có: $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}$ = $c.\overrightarrow{a}+d.\overrightarrow{b}$ = $c\left(1;0\right)+d.\left(0;1\right)=\left(c;d\right)=\overrightarrow{u}$.

Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E (xem chú thích ở Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính độ lớn của vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Lời giải:

Hướng S15°E là hướng tạo với hướng nam (S) một góc 15° và tạo với hướng đông (E) một góc 90° – 15° = 75°.

Ta sử dụng vectơ $\overrightarrow{AB}$ để biểu thị cho vận tốc riêng của ca nô, vectơ $\overrightarrow{BC}$ để biểu thị cho vận tốc của dòng nước và vectơ $\overrightarrow{AC}$ để biểu thị cho vận tốc thực tế của ca nô.

Khi đó ta có: AC = 20, BC = 3.

Do ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E nên vectơ $\overrightarrow{AC}$ tạo với hướng nam một góc 15° nên $\widehat{ACB}=75°$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2AC . BC . cos$\widehat{ACB}$ = 20² + 3² – 2 . 20 . 3 . cos75° ≈ 377,94.

Suy ra AB ≈ 19,44.

Vậy vận tốc riêng của ca nô xấp xỉ bằng 19,44 km/h.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương IV hay khác:

• Giải Toán 10 trang 71

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 12: Số gần đúng và sai số

• Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

• Bài tập cuối chương V

• Tìm hiểu một số kiến thức về tài chính

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---