Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 trong Bài tập cuối chương IV Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 72.

Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.

$$\begin{gathered} VT=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} \\ =\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} VP=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD} \\ =\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}; \end{gathered}$$

$\Rightarrow VT=VP$

Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).

a) Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}.$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{BA}\left(4;-4\right)$ và $\overrightarrow{BC}\left(-3;-3\right).$

b) Ta có: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ = 4.(–3) + (–4).(–3) = –12 + 12 = 0

⇒ BA ⊥ BC

∆ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC$

$=\frac{1}{2}.\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2}.\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}$

$=\frac{1}{2}.4\sqrt{2}.3\sqrt{2}=12$ (đvdt)

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2+\left(-2\right)+\left(-5\right)}{3}=\frac{-5}{3}\\ y_G=\frac{1+5+2}{3}=\frac{8}{3}\end{array}\right.$

$\Rightarrow G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right).$

d) Để tứ giác BCAD là hình bình hành khi $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DA}\left(2-x;1-y\right)$ và $\overrightarrow{BC}\left(-3;-3\right)$

Khi đó, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2-x=-3\\ 1-y=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}\right.\Rightarrow D\left(5;4\right)$.

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4), C(-1;-2) và D(6;5)

a) Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a;1). Tìm a để vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vecto $\overrightarrow{AE}$ theo các vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(2;2\right)$ và $\overrightarrow{CD}\left(7;7\right)$.

b) Hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương vì $\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{AC}\left(-2;-4\right)$ và $\overrightarrow{BE}\left(a-3;-3\right)$

Để hai vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương khi

$$\begin{gathered} \frac{-2}{a-3}=\frac{-4}{-3}\iff -4\left(a-3\right)=6 \\ \iff a-3=-\frac{3}{2}\iff a=\frac{3}{2}. \end{gathered}$$

Vậy $a=\frac{3}{2}$ thì hai vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương

d) Với $a=\frac{3}{2}\Rightarrow E\left(\frac{3}{2};1\right)\Rightarrow \overrightarrow{AE}\left(\frac{1}{2};-1\right)$,

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(2;2\right)$ và $\overrightarrow{AC}\left(-2;-4\right)$

Tồn tại hai số thực u, v thỏa mãn:

$\overrightarrow{AE}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}=u.2+v.\left(-2\right)\\ 1=u.2+v.\left(-4\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2u-2v=\frac{1}{2}\\ 2u-4v=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=0\\ v=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE}=0.\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$.

Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}.\overrightarrow{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$) là một vecto đơn vị cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

Lời giải:

Nhắc lại kiến thức: $k.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0.

Ta có: $k=\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}>0\left(\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}\right)$

Do đó $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ hay $\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}.$

Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho ba vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{u}$ với $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$ và $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$. Xét một hệ trục Oxy với hệ vecto đơn vị $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vecto $\overrightarrow{u}$ có tọa độ là $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a},\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).$  

b) $\overrightarrow{u}=\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}.$

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{a}\left(1;0\right)$ và $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{b}\left(0;1\right)$

Gọi tọa độ của vecto $\overrightarrow{u}\left(c;d\right)$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}=1.c+0.d=c;$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}=0.c+1.d=d;$

Vì vậy tọa độ của vecto $\overrightarrow{u}$ là $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a},\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).$

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}=c.\overrightarrow{a}+d.\overrightarrow{b} \\ =c\left(1;0\right)+d.\left(0;1\right)=\left(c;d\right)=\overrightarrow{u}. \end{gathered}$$

Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15⁰E với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3km/h.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Trong đó:

$\overrightarrow{AB}$ là hướng đông

$\overrightarrow{AD}$ là hướng S15⁰E

$\overrightarrow{v_n}$ là vận tốc dòng nước

$\overrightarrow{v_{cn}}$ là vận tốc ca nô

$\overrightarrow{v_r}$ là vận tốc riêng của ca nô

Xét tam giác ABD, có:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2.AB.AD.cos\widehat{BAD}$ (định lí cosin)

$\iff {\overrightarrow{v_r}}^2={\overrightarrow{v_n}}^2+{\overrightarrow{v_{cn}}}^2-2.\left|\overrightarrow{v_n}\right|.\left|\overrightarrow{v_{cn}}\right|.cos{15}^0$

= 3² + 20² – 2.3.20.cos15⁰

≈ 291,09

⇒ v_r ≈ 17,12

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 17,12 km/h.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương IV hay khác:

• Giải Toán 10 trang 71

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 12: Số gần đúng và sai số

• Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

• Bài tập cuối chương V

• Tìm hiểu một số kiến thức về tài chính

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---