Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1};$

b) $y=2x-\frac{1}{1-2x}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$. Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = 2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = – 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=+\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x\left(x-1\right)}=1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2-2x+2}{x-1}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+2}{x-1}=-1$.

Suy ra đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 2).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x – 1. 

b) $y=2x-\frac{1}{1-2x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\$\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $2-\frac{2}{{\left(1-2x\right)}^2}$. Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng $\left(0;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};1\right)$, y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = 3.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = – 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=+\infty$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{1-2x}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-2x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{1-2x}=0$. Suy ra đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=-\infty ;\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I$\left(\frac{1}{2};1\right)$.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = $\frac{1}{2}$ và y = 2x. 

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản hay, chi tiết khác:

• Hoạt động khởi động trang 25 Toán 12 Tập 1: Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức ....

• Hoạt động khám phá trang 25 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = – x² + 4x – 3. ....

• Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Thực hành 4 trang 35 Toán 12 Tập 1: Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0 ....

• Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm³ ....

• Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 2 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2. ....

• Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau ....

• Bài 5 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}$ ....

• Bài 6 trang 36 Toán 12 Tập 1: Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài tập cuối chương 1

• Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

• Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

• Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---