Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng - Toán lớp 10



Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x - 6y + 5 = 0. Hỏi có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc đường tròn?

A. 2    B. 5     C. 4    D . 7

Lời giải

Xét phương trình ( C) với ẩn y; x là tham số

y2 - 6y + (x2 - 4x + 5) = 0

Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: ∆' ≥ 0

⇔ 9 - x2 + 4x - 5 ≥ 0 ⇔ x2 - 4x - 4 ≤ 0

⇔ 2 - √8 ≤ x ≤ 2 + √8

⇒ Các điểm M(x;y) thuộc (C) có hoành độ nguyên là 0; 1; 2; 3; 4 ta có:

X 0 1 2 3 4
Y 1 hoặc 5 y không nguyên y không nguyên y không nguyên 1 hoặc y = 5

Vậy tồn tại bốn điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên là:

(0; 1); (0; 5); (4; 1) và (4; 5)

Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): x2 + y2 – 4x - 6y + 11 = 0 sao cho MA lớn nhất, biết A(3; 2).

A. M( - 2; 8)    B. M(9; 2)    C. M(1; 4)    D. M(3; 8)

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(2; 3).

+ Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta được :

32 + 22 - 4.3 - 6.2 + 11 = 0 ( đúng)

⇒ Điểm A thuộc đường tròn ( C).

⇒ Để MA đạt lớn nhất thì MA là đường kính

⇒ M đối xứng với A qua I hay I là trung điểm của MA.

Tọa độ điểm M là: Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ M(1; 4)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C): (x - 2)2 + (y - 3)2 = 5. Tìm trên ( C) điểm M sao cho
MB = 4 biết rằng B(1; 5)?

A. M(1; - 1)    B. M(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. M(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. Đáp án khác

Lời giải

Gọi tọa độ điểm M(x0; y0).

+ Vì điểm M nằm trên đường tròn ( C) nên (x0 – 2)2 + (y0 - 3)2 = 5

Hay x02 - 4x0 + y02 - 6y0 + 8 = 0 (1)

+ Theo giả thiết BM = 4 nên BM2 = 16 ⇔ (x0 - 1)2 + (y0 - 5)2 = 16

Hay x02 - 2x0 + y02 - 10y0 + 10 = 0 (2)

+ Lấy (2) trừ (1) vế trừ vế ta được :

2x0 – 4y0 + 2 = 0 ⇔ x0 - 2y0 + 1 = 0

⇔ x0 = 2y0 – 1 thay vào (1) ta được :

( 2y0 - 1)2 – 2(2y0 – 1) + y02 - 10y0 + 10 = 0

⇔ 5 y02 - 18y0 + 13 = 0

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(1; 1) và M(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): (x - 3)2 + ( y - 2)2 = 5. Tìm điểm E thuộc đường tròn sao cho tam giác OEF vuông tại O, biết rằng điểm F (4; - 2)?

A. E1(2; 4) và E2(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .    B. E1(1; - 4) và E2(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

C. E1(3; - 6) và E2( - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .    D. E1(2; 4) và E2(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

Lời giải

+ Do tam giác OEF vuông tại O nên OE vuông OF.

+ Đường thẳng OE: Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình OE: 2(x - 0) – 1(y - 0) = 0 hay 2x - y = 0.

+ Đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại E nên tọa độ E là nghiệm hệ

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy có hai điểm thỏa mãn là E1(2; 4) và E2(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC biết B( 2; m) và C( n; 1). Tìm tọa độ điểm B? Biết rằng Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn?

A. B(2; 1)    B. B( 2; 2)    C. B(2; -1)    D. B(2; -3)

Lời giải

+ Do góc Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 900.

⇒ Tam giác BAC vuông tại A và BC là đường kính .

⇒ O (0; 0) là trung điểm của BC.

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy tọa độ điểm B(2; -1) và điểm C(-2; 1)

Chọn C.

Ví dụ 6 : Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 4y - 2 = 0; đường thẳng ∆: x + y - 2 = 0. Tìm trên d điểm A sao cho từ A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn ( C) ?

A. ( 1, 1)    B. ( 2; 0)    C. ( 3; -1)    D. (1;1) hoặc ( 5; -3)

Lời giải

+ Đường tròn ( C) tâm I( 2; -2) và bán kính R = 3.

+ Ta có nhận xét:

- Nếu điểm A nằm trong hình tròn( C) thì qua A không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn.

- Nếu điểm A nằm trên đường tròn ( C) thì qua A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn .

- Nếu điểm A nằm bên ngoài hình tròn ( C) thì qua A kẻ được hai tiếp tuyến nào với đường tròn.

⇒ Theo đề bài; từ điểm A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn (C) thì điểm A nằm trên đường tròn.

⇒ A là giao điểm của đường tròn ( C) và đường thẳng d. Nên tọa độ A là nghiệm hệ:

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án (*)

Giải phương trình ( *) :

(*) ⇔ 4 - 4y + y2 + y2 – 8 + 4y + 4y - 2 = 0

⇔ 2y2 + 4y - 6 = 0

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy có hai điểm A thỏa mãn đề bài là (1;1) và ( 5; -3)

Chọn D.

Ví dụ 7 . Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0 có tâm I và điểm M( - 1; - 3) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

A. x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0    B. x + 2y - 7 = 0 và x - 3y - 20 = 0

C. 2x + y - 3 = 0 và x - 7y - 20 = 0    D. x - 4y = 0 và x + 2y - 20 = 0

Lời giải

+ Đường tròn ( C): tâm I( 1; -2); bán kính R = 1

+ Đường thẳng ∆: Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆: a( x + 1) + b( y + 3) = 0 ( *)

+ Do A; B thuộc đường tròn ( C) nên IA = IB = R = 1

Diện tích tam giác IAB là:

SIAB = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án IA.IB.sin( Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .1.1.sin(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) ≤ Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ SIAB lớn nhất khi:

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 900 ⇒ IH = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án với H là hình chiếu I lên Δ

Suy ra d(I; Δ) = IH = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 2( 2a + b)2 = a2 + b2

⇔ 7a2 + 8ab + b2 = 0

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Nếu a = - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án b; chọn b = - 7; a = 1 thay vào ( *) ta được phương trình đường thẳng:

∆ : 1( x + 1) – 7 ( y + 3) = 0 hay x - 7y - 20 = 0

+ Nếu a = - b; chọn a = 1; b = -1 thay vào ( *) ta được :

∆: 1( x + 1) - 1.(y + 3) = 0 hay x - y - 2 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0.

Chọn A

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
(C): x2 + y2 – 4x - 6y = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x = 0. Một đường thẳng đi qua giao điểm của (C) và (C') lần lượt cắt lại (C) và (C') tại M và N. Viết phương trình đường thẳng khi MN đạt giá trị lớn nhất.

A. 2x - y = 0 và x + 4y + 12 = 0    B. 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0

C. x + y - 10 = 0 và 3x - y + 12 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = √13

Đường tròn (C') có tâm J( - 2; 0) và bán kính R’ = 2.

⇒ IJ = 5 nên |R - r| < IJ < R + r

⇒ (C) cắt (C') tại hai điểm A, B

+ Xét ∆ bất kì qua A cắt (C) và (C') tại M và N. Gọi ∆' là đường thẳng qua A vuông góc với AB, cắt (C), (C') lần lượt tại C và D. Gọi K, H lần lượt là là hình chiếu của I, J lên ∆' . Gọi P, Q lần lượt là là hình chiếu của I, J lên ∆ .

Khi đó ta có MN = 2PQ ≤ 2IJ = 2KH = CD

⇒ MNmax = CD.

+ Tọa độ A, B là nghiệm của hệ

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Từ đó suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn:

- ( ∆1) : Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình : 3( x - 0) – 4( y - 0) = 0 hay 3x - 4y = 0

- ( ∆2) : Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình : 3(x + Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) - 4( y - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) = 0 hay 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0.

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho phương trình đường cong : x2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0 (*) . Tìm mệnh đề sai?

A. ( Cm) là phương trình của đường tròn với mọi m.

B. Tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi là đường thẳng x + y - 1 = 0

C. Khi m thay đổi họ các đường tròn ( Cm) có đúng một điểm cố định.

D. Họ các đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm M(1 ; 2) với mọi m.

Đáp án: C

Trả lời:

+ Ta có a2 + b2 - c = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án - m - 1 = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án > 0

Suy ra (*) là phương trình đường tròn với mọi m

+ Đường tròn có tâm I : Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án suy ra xI + yI - 1 = 0

Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng ∆: x + y - 1 = 0

+ Gọi M(x0 ; y0) là điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua.

Khi đó ta có: x02 + y02 + (m + 2)x0 - (m + 4)y0 + m + 1 = 0, ∀m

⇔ (x0 - y0 - 1)m + x02 + y02 + 2x0 - 4y0 + 1 = 0,  ∀m

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy có hai điểm cố định mà họ ( Cm) luôn đi qua với mọi m là A( - 1 ; 0) và M(1 ; 2)

Câu 2: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB?

A. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4    B. ( x - 2)2 + (y + 2)2 = 1

C. ( x - 1)2 + (y + 1)2 = 1    D. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9

Đáp án: A

Trả lời:

Ta có: OA = 8; OB = 6 và AB = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 10.

Mặt khác Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án OA.OB = pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC)

Suy ra r = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 2

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB

⇒ đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên |a| = |b| = r = 2

Mà đường tròn có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất nên a > 0; b > 0

⇒ a = b = r = 2

Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB là I( 2; 2) bán kính đường tròn nội tiếp là
r = 2.

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là

( x - 2)2 + (y – 2)2 = 4

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: √3x + y = 0 và
d2: √3x - y = 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án và điểm A có hoành độ dương.

A. (x - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y + Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 4    B. (x + Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y + Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 1

C. (x + Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 1    D. (x - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 1

Đáp án: B

Trả lời:

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Vì A ∈ d1 ⇒ A(a; -√3a), a > 0; B,C ∈ d2 ⇒ B(b; √3b), C(c; √3c)

Suy ra AB(b - a; √3(a + b)), AC(c - a; √3(c + a))

+ Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.

Do đó AC ⊥ d1AC.u1 = 0 ⇔ -1.(c - a) + √3.√3(a + c) = 0 ⇔ 2a + c = 0 (1)

AB ⊥ d2AB.u2 = 0 ⇔ 1.(b - a) + 3(a + b) = 0 ⇔ 2b + a = 0 (2)

Mặt khác SABC = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án d(A; d2).BC ⇒ Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án
⇔ 2a|c- b| = 1 (3)

Từ (1), (2) suy ra 2( c - b) = - 3a thế vào (3) ta được a|-3a| = 1 ⇔ a = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Do đó b = - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án , c = - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ A(Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; -1), C(- Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; -2)

Suy ra (C) nhận I(- Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) là trung điểm AC làm tâm và bán kính là R = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x + Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y + Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 1

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, hai cạnh AB; AC theo thứ tự có phương trình x + y - 2 = 0 và x + 3y - 4 = 0. Cạnh BC có trung điểm M( - 1; 1). Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. ( - 5; - 7)    B. ( 4; - 3)    C. ( - 7; 3)    D. ( 1; 3)

Đáp án: A

Trả lời:

+ Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ A(1; 1)

+ Gọi P là trung điểm của AC. Khi đó MP// AB ( vì MP là đường trung bình của tam giác) .

⇒ Đường thẳng MP có dạng : x + y + c = 0 ( c ≠ - 2)

Mà M( - 1; 1) thuộc MP nên : - 1 + 1 + c = 0 ⇔ c = 0

Phương trình MP: x + y = 0.

+ MP và AC cắt nhau tại P ta tìm được P( - 2; 2) .

+ Mà P là trung điểm của AC nên tọa độ điểm C( - 5; 3) .

+ Điểm M là trung điểm BC nên tọa độ điểm B:

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ B( 3; - 1)

+ Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A; B và C.

Gọi phương trình đường tròn là: x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0)

Do A; B và C thuộc đường tròn nên :

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy phương trình đường tròn cần tìm có tâm là I( - 5; - 7)

Câu 5: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng
4x - 3y - 65 = 0; 7x - 24y + 55 = 0; 3x + 4y - 5 = 0.

A. (x - 10)2 + y2 = 25    B. (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25

C. (x - 10)2 + (y - 2)2 = 25    D. Tất cả sai

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

AB : 4x - 3y - 65 = 0 ; BC : 7x - 24y + 55 = 0 ; CA : 3x + 4y - 5 = 0

+ Suy ra A(11 ; - 7) ; B(23 ; 9) ; C( - 1 ; 2)

Ta có : AB( 12 ; 16) ; AC( - 12 ; 9)

AB.AC = 12. ( - 12) + 16.9 = 0

⇒ AB và AC vuông góc với nhau nên tam giác ABC vuông ở A.

Ta có AB = 20 ; BC = 25 ; CA = 15

⇒ S = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . AB. AC = 150.

+ Lại có : S = p.r với p = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 30 là nửa chu vi của tam giác ABC.

⇒ r = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 5.

+ Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I( x ;y) suy ra khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
5 = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Giải hệ này ta tìm được I(10 ; 0)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x - 10)2 + y2 = 25.

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 1) và đường thẳng
∆: x - y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2.

A. (x + 2)2 + (y - 2)2 = 2    B. (x - 1)2 + (y - 2)2 = 2

C. (x - 1)2 + (y + 3)2 = 16    D. (x - 5)2 + (y - 2)2 = 4

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình : (x - a)2 + (y - b)2 = R2

+ Tam giác MAB vuông tại M nên AB là đường kính và AB = 2R.

suy ra ∆ qua I do đó : a - b + 1 = 0 (1)

Hạ MH ⊥ AB có MH = d(M, ∆) = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Diện tích tam giác MAB là:

SMAB = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án MH.AB ⇔ 2 = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .2R.√2 ⇔ R = √2

Vì đường tròn qua M nên ( 2 - a)2 + (1 - b)2 = 2 (2)

Ta có hệ Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Giải hệ được a = 1; b = 2. Vậy (C) có phương trình: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 2

Câu 7: Cho đường thẳng ∆: x - y + 1 = 0 và đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x + 2y - 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆' vuông góc với ∆ và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.

A. x + y - 2 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x + y = 0    D. x + y + 2 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn ( C): tâm I ( 2; - 1) bán kính R = 3.

+ Vì vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên vuông góc với và đi qua tâm I của đường tròn (C).

+ Đường thẳng ∆': Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆’: 1( x - 2) + 1( y + 1) = 0 hay x + y - 1 = 0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ∆’: x + y - 1 = 0 .

Câu 8: Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆ . Biết rằng đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất?

A. m = - 2    B. m = 1    C. m = - 4    D. m = 2

Đáp án: C

Trả lời:

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Đường tròn (C) có tâm I (1; -2), bán kính R = 3. ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

d(I; Δ) < R ⇔ Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án < 3 ⇔ 5m2 + 5m + 17 = 0

(đúng với mọi m)

Vậy với mọi m đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A; B.

+ Ta có IA = IB = R = 3 nên diện tích tam giác IAB là:

SIAB = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án IA.IB.sinCác dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án sinCác dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp ánCác dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Suy maxSIAB = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án khi và chỉ khi:

sinCác dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 ⇔ Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 900

+ Gọi H là hình chiếu của I lên khi đó Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 450 ⇒ IH = IA.cos450 = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Ta có d(I; Δ) = IH ⇔ Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 2( 1 - 2m)2 = 9( 2 + m2 )

⇔ 2 - 8m + 8m2 = 18 + 9m2

⇔ m2 + 8m + 16 = 0 ⇔ m = - 4

Vậy với m = - 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm O và cắt đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 6y - 15 = 0 (C) tại hai điểm A, B sao cho O là trung điểm của AB.

A. x + 3y = 0    B. x - 3y = 0    C. x - 2y = 0    D. 2x - y = 0

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I( 1; -3) và bán kính R = 5.

+ Xét vị trí của điểm O và đường tròn( C):

OI = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √10 < R

⇒ Điểm O nằm trong đường tròn .

+ Đường thẳng đi qua O và cắt (C) tại A, B với O là trung điểm AB

suy ra Δ ⊥ OI .

+ Đường thẳng AB: Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ phương trình của AB: 1( x - 0) – 3( y - 0) = 0 hay x - 3y = 0.

Câu 10: Cho đường tròn ( C): x2 + y2 = 4 và điểm M(2;2) . Có bao nhiêu đường thẳng qua M và cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2.

A. 0    B. 1    C. 2    D. Vô số

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm O(0 ; 0) và bán kính R = 2.

Đường thẳng cần tìm có dạng ∆ : Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ∆ : a(x - 2) + b( y - 2) = 0

+ Gọi H là hình chiếu của O lên AB khi đó H là trung điểm AB nên AH = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1

⇒ OH = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √3

+ Ta có OH = d(O; Δ) ⇔ √3 = Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 3( a2 + b2) = 4a2 + 8ab + 4b2 ⇔ a2 + 8ab + b2 = 0

⇔ a = ( - 4 ± √15)b

Từ đó ta có hai đường thẳng thỏa mãn là :

Δ1 : (-4 + √15)x + y + 6 - 2√15 = 0 và Δ2 : (-4 - √15)x + y + 6 + 2√15 = 0

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp