Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

---

---

Bài viết Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác).

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Cho đường tròn ( C) đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (*)

( với điều kiện a² + b² - c > 0).

2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c.

3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x - y + 3 = 0.    B. x + y - 3 = 0    C. x - y - 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x² + y² - 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² – c > 0)

⇒ I( 0; 3)

Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) .

Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng

x - y + 3 = 0 thỏa mãn.

Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

A. (0; 0)    B. (1; 0)    C. (3; 2)    D. (1; 1)

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x² + y² - 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² –c > 0)

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên

Vậy tâm I( 1; 1)

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0).

A. 5    B. 3    C. √6,25    D. √8

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x² + y² - 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² – c > 0)

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên

Vậy bán kính R = = √6,25.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

A. x² + y² - 2x - y + 20 = 0    B. (x - 2)² + (y - 1)² = 20

C. x² + y² - 4x - 2y + 20 = 0    D. x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0

Lời giải

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C): x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 (a² + b² - c > 0 )

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó?

A. 5    B. 6    C.    D. √37

Lời giải

Gọi tam giác nội tiếp đường tròn ( C) có phương trình là

x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 (a² + b² - c > 0 )

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

⇒ Bán kính đường tròn ( C) là R =

Chọn C.

Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x - y + 3 = 0    B. x - y - 3 = 0    C. x + 2y - 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình ( C) có dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (a² + b² + c > 0 ) . Tâm I (a; b)

⇒ I(0; 3)

Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng

x - y - 3 = 0

Chọn B.

Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

A.    B. 2√2    C. √10    D.

Lời giải

Ta có: AB→( 1; 3)và AC→(-3; 1 )

⇒ AB→. AC→ = 1.(-3) + 3.1 = 0

⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.

⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.

+ Tọa độ tâm I- trung điểm của BC là:

⇒ Khoảng cách OI = = √10

Chọn C.

Ví dụ 8 : Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ?

A. x² + y² + 8x - 2y - 9 = 0    B. x² + y² - 3x - 16 = 0

C. x² + y² - x + y = 0    D. x² + y² - 4x - 4y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án:

Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A.

Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B.

Điểm B(3; 4) không thuộc đường tròn C.

Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Gọi I( a; b) tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2) ;B( 0;4) và C(- 2; -1).
Tính a + b

A. -2    B. 0    C. 2    D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi phương trình đường tròn ( C) cần tìm có dạng:

x² + y² - 2ax – 2by + c= 0 (a² + b² - c > 0)

Do A, B , C thuộc đường tròn nên:

Vậy tâm đường tròn là I( 1 ; 1) và a + b = 0

Câu 2: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A( -2; 4); B( 1; 0) và C ( 2;- 3)

A.    B.    C. √10    D.

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi phương trình đường tròn ( C) đi qua 3 điểm A; B và C là:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 ( a² + b² - c > 0 )

Do A; B và C thuộc đường tròn ( C) nên :

Vậy bán kính đường tròn ( C): = =

Câu 3: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 5) ;B( 3; 4) và C( -4; 3).

A. (-6; -2)    B. (-1; -1)    C. (3; 1)    D. (0; 0)

Lời giải:

Đáp án: D

Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là

( C): x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 ( a² + b² - c > 0)

Do ba điểm A, B và C thuộc ( C) nên

Vậy tâm của đường tròn ( C) là I(0; 0).

Câu 4: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 0) ; B(0 ; 6) ; C( 8 ;0) .

A. 6    B. 5    C. 10    D. √5

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là :

( C): x² + y² - 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² - c > 0 )

Do 3 điểm đó thuộc ( C) nên

⇒ bán kính R = = 5

Câu 5: Đường tròn đi qua 3 điểm O(0; 0) ;A(a; 0) và B(0; b) có phương trình là

A. x² + y² - 2ax - by = 0    B. x² + y² - ax - by + xy = 0

C. x² + y² - ax - by = 0    D. x² + y² - ay + by = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có : OA→( a; 0); OB→( 0; b) ⇒ OA→.OB→ = a.0 + 0.b = 0

⇒ Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.

⇒ tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là trung điểm I( ; ) và bán kính R =

Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là

⇔ x² + y² - ax - by = 0

Câu 6: Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8) ; B(13; 8); C(14; 7) có bán kính R bằng

A. 2    B. 1    C. √5    D. √2

Lời giải:

Đáp án: C

Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 ( với a² + b² - c > 0).

Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8); B(13; 8) và C( 14; 7) nên ta có:

Ta có R = = √5

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A: B và C có bán kính là R = √5 .

Câu 7: Đường tròn đi qua 3 điểm A(1;2) ; B(-2; 3); C(4; 1) có tâm I có tọa độ là

A. (0; -1)    B. (0; 0)

C. Không có đường tròn đi qua 3 điểm đã cho.    D. (3; )

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có: AB→ (3; -1), BC→ (6; -2) ⇒ BC→ = 2AB→

⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng.

Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A, B và C.

Câu 8: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 5; 5) và C(1; 8). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có: AB→( 3; 4) và BC→( -4; 3)

⇒ AB→.BC→ = 3.(-4) + 4.3 = 0

⇒ AB vuông góc BC nên tam giác ABC vuông tại B.

⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

+ Tọa độ tâm I- trung điểm của AC là:

⇒ Khoảng cách OI =

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2); B(3; 6) và C(4; 7).

Bài 2. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 2); B(1; 5); C(3; 6).

Bài 3. Cho tam giác ABC có A(–3; 7); B(3; 3) và C(6; –1). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 4. Tâm của đường tròn qua ba điểm A(3; 5); B(–2; 6) ; C(–1; 3) thuộc đường thẳng có phương trình nào?

Bài 5. Gọi M( a; b) là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(3; 2); B(0; 7) và C(–3; 5). Tính a + b.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
• Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
• Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
• Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
• Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---