Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
Bài viết Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính.
Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
A. Phương pháp giải
+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
+ Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:
- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.
- Bước 2: Tính IA.
- Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.
+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A
⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0. B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0.
C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0. D. Tất cả sai
Lời giải
Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) .
Bán kính R = 
AB =
= 4√2
Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32
Hay x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0. B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0.
C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0. D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0.
Lời giải
Ta có: MA→(x + 4;y - 2); MB→(x - 2; y + 3)
Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31
Tương đương : ( x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31
Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là
A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2 B. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4
C. ( x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 D. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4
Lời giải
Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là:
(x - 3)2 + (y + 2)2 = 4
Chọn B.
Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0. B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.
C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0. D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là:
R = IM = 
= √10
Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 10
Hay x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là
A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0. B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0
C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0 D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0
Hướng dẫn giải
Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) .
Bán kính
AB = 
= 4√2
Vậy phương trình đường tròn là:
(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0
Chọn B.
Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành?
A.(x - 1)2 + y2 = 16 B. (x - 10)2 + y2 = 50
C. (x + 1)2 + y2 = 17 D. (x - 10)2 + y2 = 50
Lời giải
+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0).
⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x - a)2 + y2 = R2.
+ Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)2 + 12 = R2 (1).
+ Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 - a)2 + 52 = R2 ( 2).
Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0
⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10
Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50.
Vậy phương trình đường tròn ( C): (x - 10)2 + y2 = 50
Chọn D.
Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?
A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0
C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
Giả sử phương trình đường tròn ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a2 + b2 - c > 0)
Là đường tròn có tâm I(a; b).
+ Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1)
+ Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2)
+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).
Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình :
⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:
x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là
A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4. B. (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4.
C. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4. D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.
Lời giải:
Đáp án: C
Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là:
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 4
Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0
C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0
Lời giải:
Đáp án: A
+ Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là:
R = IM = 
= √10
+ Khi đó đường tròn có phương trình là:
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0
Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là
A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5 B. (x - 1)2 + (y - 4)2 = √5
C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5 D. (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là:
R = IB = 
= √5
Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5
Câu 4: Cho điểm M( x ; y) có 
. Tập hợp điểm M là
A. Đường tròn tâm I (-1 ;2) và R = 3. B. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 2.
C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 4. D. Đường tròn tâm I(1; -2) và R = 4.
Lời giải:
Đáp án: B
Ta có: M
⇒ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4(sin2t + cos2t)
⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4
Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I ( -1; 2) , bán kính R = 2.
Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là
A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0
C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0 D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: A
Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB
⇒ Tọa độ điểm I : 
⇒ I( 1; 3)
Bán kính R =
AB = 
= 4√2
Vậy phương trình đường tròn là:
(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0
Câu 6: Cho hai điểm A( - 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
MA2 + MB2 = 31 có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0
C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y - 2)2 và MB2 = ( x - 2)2 + (y + 3)2
Để MA2 + MB2 = 31
⇔ (x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0?
A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0 B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0
C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0 D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0
Lời giải:
Đáp án: A
+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0).
Đường tròn này có tâm I(a;b).
+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1).
+ Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên:
1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2)
+ Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên :
4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3)
Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:
⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:
x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0
Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn?
A. I(0; -2)
B. I( 0; 1)
C. I(0; 
)
D. I(0; 
)
Lời giải:
Đáp án: C
+ Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I(0; a).
⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x2 + (y - a)2 = R2
+ Điểm A( 1; 2) thuộc đường tròn ( C) nên :
12 + (2 - a)2 = R2 hay a2 - 4a - R2 = - 5 (1)
+ Điểm B(3; 1) thuộc đường tròn (C) nên :
32 + (1 - a)2 = R2 hay a2 – 2a – R2 = - 10 (2)
+ Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:
- 2a = 5 ⇔ a =
⇒ Tâm đường tròn là I(0;
)
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
- Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
- Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều
