Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính - Toán lớp 10



Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính

A. Phương pháp giải

+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :

(x - a)2 + (y - b)2 = R2

+ Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:

- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.

- Bước 2: Tính IA.

- Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.

+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A

⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0.    B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0.    D. Tất cả sai

Lời giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) .

Bán kính R = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án AB = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32

Hay x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0.    B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0.    D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0.

Lời giải

Ta có: MA(x + 4;y - 2); MB(x - 2; y + 3)

Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31

Tương đương : ( x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31

Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là

A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2    B. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4

C. ( x + 3)2 + (y - 2)2 = 4    D. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4

Lời giải

Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là:

(x - 3)2 + (y + 2)2 = 4

Chọn B.

Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0.    B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0.    D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là:

R = IM = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √10

Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 10

Hay x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0.    B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0

C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0    D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0

Hướng dẫn giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) .

Bán kính Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án AB = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:

(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành?

A.(x - 1)2 + y2 = 16    B. (x - 10)2 + y2 = 50

C. (x + 1)2 + y2 = 17    D. (x - 10)2 + y2 = 50

Lời giải

+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0).

⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x - a)2 + y2 = R2.

+ Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)2 + 12 = R2 (1).

+ Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 - a)2 + 52 = R2 ( 2).

Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0

⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50.

Vậy phương trình đường tròn ( C): (x - 10)2 + y2 = 50

Chọn D.

Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?

A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0    B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0

C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

Giả sử phương trình đường tròn ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a2 + b2 - c > 0)

Là đường tròn có tâm I(a; b).

+ Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1)

+ Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2)

+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).

Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình :

Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là

A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4.    B. (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4.

C. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4.    D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là:

(x - 3)2 + (y + 1)2 = 4

Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0    B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0    D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là:

R = IM = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √10

+ Khi đó đường tròn có phương trình là:

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0

Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là

A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5    B. (x - 1)2 + (y - 4)2 = √5

C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5    D. (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là:

R = IB = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √5

Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5

Câu 4: Cho điểm M( x ; y) có Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Tập hợp điểm M là

A. Đường tròn tâm I (-1 ;2) và R = 3.    B. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 2.

C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 4.    D. Đường tròn tâm I(1; -2) và R = 4.

Đáp án: B

Trả lời:

Ta có: MViết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4(sin2t + cos2t)

⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4

Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I ( -1; 2) , bán kính R = 2.

Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0    B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0

C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0    D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB

⇒ Tọa độ điểm I : Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ I( 1; 3)

Bán kính R = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án AB = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:

(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0

Câu 6: Cho hai điểm A( - 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
MA2 + MB2 = 31 có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0    B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0    D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y - 2)2 và MB2 = ( x - 2)2 + (y + 3)2

Để MA2 + MB2 = 31

⇔ (x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0?

A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0     B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0

C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0    D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0).

Đường tròn này có tâm I(a;b).

+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1).

+ Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên:

1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2)

+ Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên :

4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:

Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0

Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn?

A. I(0; -2)    B. I( 0; 1)    C. I(0; Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. I(0; Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Đáp án: C

Trả lời:

+ Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I(0; a).

⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x2 + (y - a)2 = R2

+ Điểm A( 1; 2) thuộc đường tròn ( C) nên :

12 + (2 - a)2 = R2 hay a2 - 4a - R2 = - 5 (1)

+ Điểm B(3; 1) thuộc đường tròn (C) nên :

32 + (1 - a)2 = R2 hay a2 – 2a – R2 = - 10 (2)

+ Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

- 2a = 5 ⇔ a = Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Tâm đường tròn là I(0; Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp