Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
Bài viết Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính.
Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
A. Phương pháp giải
+ Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính
R = 
+ Phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (1) . Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là
A. a2 + b2 - 4c > 0. B. a2+ b2 - c > 0. C. a2+ b2 - c2 > 0. D. a2+ b2 - 2c > 0.
Lời giải
Ta có: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
Tương đương: (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: a2 + b2 - c > 0.
Chọn B.
Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax - by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là
A. 2a2 + 2b2 - c > 0. B. a2 + b2 - 2c > 0. C. a2 + b2 - 4c > 0. D. a2 + b2 + c > 0.
Lời giải
Ta có:
x2 + y2 - ax - by + c = 0 (1)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:
- c > 0 hay a2 + b2 - 4c > 0
Chọn C.
Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I) x2 + y2 – 4x + 15y - 12 = 0.
(II) x2 + y2 – 3x + 4y + 20 = 0.
(III) 2x2 + 2y2 - 4x + 6y + 1 = 0 .
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III).
Lời giải
Ta xét các phương án:
(I) có: a2 + b2 - c = 4 + 
+ 12 = 
> 0
(II) có: a2 + b2 - c = 
+ 
- 20 = - 
< 0
(III) tương đương : x2+ y2 – 2x - 3y + 0,5 = 0.
phương trình này có: a2 + b2 - c = 1 +
- 
= 
> 0
Vậy chỉ (I) và (III) là phương trình đường tròn.
Chọn D.
Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(1) Đường tròn (C1) : x2+ y2 – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3.
(2) Đường tròn (C2) x2+ y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm
I(
; - 
) bán kính R = 3.
A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. cả hai D. Không có.
Lời giải
Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = 
= 3
Vậy (1) đúng
Đường tròn ( C2): a =
, b = -
⇒ I(
; -
); R = 
= 3
Vậy (2) đúng.
Chọn C.
Ví dụ 5. Đường tròn 3x2 + 3y2 - 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 2,5 B. 3 C. 2 D. 4
Lời giải
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 2x + 3y - 3 = 0
Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 4x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. tâm I( 2; 0) B. bán kính R = 1
C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm. D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.
Lời giải
Cho x= 0 ta được : y2 + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy (C) không có điểm chung nào với trục tung.
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x2+ y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. (C) không đi qua điểm O. B. tâm I( -4 ; -3).
C. bán kính R = 4. D. (C) đi qua điểm M(-1 ; 0) .
Lời giải
+Ta có a = -4; b = -3 ; c = 9 và a2 + b2 - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0
Suy ra (C) là đường tròn tâm I( -4; -3) và R = 4
Vậy B; C đúng.
+ Thay O vào (C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí . Vậy A đúng.
+ Thay M( -1; 0) vào (C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ( vô lý). Vậy D sai.
Chọn D.
Ví dụ 8. Đường tròn x2 + y2 - 10x - 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
A. 6 B. 2 C. 4 D. √6
Lời giải
Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R =
= 6
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Lời giải
Phương trình x2+ y2 - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0 hay m2 + (-2)2 - 4 > 0
⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(2; 4)?
A. m = 1; n = -2 B. m = 2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Lời giải
Phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0 có:
a = m; b = -2n và c = -4
Ta có: a2+ b2 - c = m2 + 4n2 + 4 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(m; -2n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?
A. m = ± 8 B. m = 6 C. m = 10 D. m = ± 4
Lời giải
Phương trình x2 + y2 + 2x - my + 1 = 0 có:
a = -1; b = 
và c = 1
Để phương trình trên là phương trình đường tròn nếu: a2+ b2- c > 0
⇔ 1 + 
- 1 > 0 ⇔
> 0 ⇔ m ≠ 0.
Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính là:
R = 
Theo đề bài ta có: R = 2 nên 
= 2
⇔ 
( thỏa mãn điều kiện )
Chọn A.
Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. 4x2 + y2 – 10x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0
C. x2 + 2y2 - 4y - 8y + 1 = 0 D. x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0
Lời giải
Xét phương trình dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a ; b ; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 - c > 0 .
+ Xét phương án D : có a = 2 ;b = 3 và c = -12
⇒ a2 + b2 - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0
⇒ Phương trình x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn.
+ Các phương trình 4x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0 và x2 + 2y2- 4x - 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại các đáp án A và C.
+ Phương án x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 - c > 0.
Chọn D.
Ví dụ 13. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. m <
B. m ≤
C. m > 1
D. m = 1
Lời giải
Ta có: trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0
⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m2
Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ m2 + ( 1 - m)2 - 2m2 > 0
⇔ m2 + 1 - 2m + m2 - 2m2 > 0
⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m <
Chọn A.
Ví dụ 14. Cho phương trình x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. đúng mọi m B. m ∈( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)
C. m ∈ ( -∞; 1] ∪ [2; +∞) D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 có:
a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m
Để phương trình trên là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 - c > 0.
⇔ m2 + ( 2m - 4)2 - (6 - m) > 0
⇔ m2 + 4m2 – 16m + 16 – 6 + m > 0
⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ ( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường tròn 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
A. (8; -4) B. ( 4; -2) C. ( -4; 2) D. (2; -1 )
Lời giải:
Đáp án: D
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0
Ta có: 
nên tâm I( 2; -1) .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0 B. x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0
C. 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 D. 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
Ta xét các phương án:
+Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
+Phương án A : có a = -1 ; b = 2 và c = 9
⇒ a2 + b2 - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0
⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn.
+ Phương án B : có a = 3; b = -2 ; c = 13
⇒ a2 + b2 - c = 9 + 4 - 13 = 0
⇒ loại B.
+ Phương án C:
2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0
Có a = 2; b = 1; c = -3
⇒a2 + b2 - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0
⇒ Đây là phương trình đường tròn
Câu 3: Cho đường cong (C) : x2 + y2 - 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào của m thì (C) là đường tròn có bán kính bằng 7 ?
A. m = 4 B. m = 8 C. m = -8 D. m = -2
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có a = 4; b = - 5 và c = m.
Bán kính đường tròn là: R = 
Để bán kính đường tròn là 7 thì:
= 7 ⇔ 
= 7.
⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8
Câu 4: Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
A. m < 0 B. m < 1 C. m > 1 D. m < - 1 hoặc m > 1.
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có:
x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0(1)
⇔ x2 - 2(m + 1)x + (m + 1)2 + y2 - 2(m + 2)y + (m + 2)2 - (m + 1)2 - (m + 2)2 + 6m + 7 = 0
⇔ [x - (m + 1)]2 + [y - (m + 2)]2 = 2m2 - 2)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m2 - 2 > 0 ⇔
Câu 5: Tìm m để phương trình x2 + y2 - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn.
A. m < - 2 hoặc m > 2. B. m > 2 C. -2 ≤ m ≤ 2 D. m < - 2
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4y + 8 = 0(1)
⇔ x2 - 2mx + m2 + y2 - 2.2.y + 22 - m2 - 22 + 8 = 0 ⇔ (x - m)2 + (y - 2)2 = m2 - 4
Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn:
m2 - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2
Câu 6: Cho hai mệnh đề
(I) (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.
(II) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b).
Hỏi mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả (I) và (II) đều sai. D. Cả (I) và (II).
Lời giải:
Đáp án: A
(I) đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a2 + b2 - c > 0.
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng?
(I) Đường tròn (C1) có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3.
(II) Đường tròn (C2) có tâm bán kính R = 3.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. (I) và (II). D. Không có.
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =
= 3
Vậy (1) đúng
Đường tròn ( C2): a =
, b = -
⇒ I(
; -
); R =
= 3
Vậy (2) đúng.
Câu 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ( C) không đi qua điểm O(0 ; 0) . B. ( C) có tâm I( -4 ; -3) .
C. ( C) có bán kính R = 4. D. ( C ) đi qua điểm M( -1 ; 0) .
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C)có:
a = -4, b = -3 ⇒ I(-4; -3); R = 
= 4. Vậy B; C đúng.
Thay O(0; 0) vào ( C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý).
⇒ đường tròn ( C) không đi qua điểm O . Vậy A đúng.
Thay M( -1; 0) vào ( C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý).
⇒ Đường tròn ( C) không đi qua điểm M( -1; 0) . Vậy D sai.
Câu 9: Cho đường tròn (C)2x2 + 2y2 - 4x + 8y + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( C) không cắt trục Oy. B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.
C. ( C) có tâm I (2 ; -4) . D. ( C) có bán kính R = √19 .
Lời giải:
Đáp án: B
+ Ta viết lại phương trình đường tròn(C) ⇔ x2 + y2 - 2x + 4y +
= 0
⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =
Vậy C; D sai.
+ Cho x = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =
hoặc y = 
Do đó ( C) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai
+ Cho y = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =
hoặc y = 
Do đó ( C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng
Câu 10: Đường tròn x2 + y2 – 6x - 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 10 B. 25 C. 5 D. √10.
Lời giải:
Đáp án: C
Đường tròn x2 + y2 - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0
⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0
⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là:
R = 
= 5 .
Câu 11: Đường tròn x2 + y2 – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. √5
B. 25
C. 
D. 
Lời giải:
Đáp án: C
Đường tròn có a = 0; b =
và c = 0.
⇒ Bán kính đường tròn là : R = 
=
Câu 12: Đường tròn x2 + y2 +
- √3 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
A. (0; 
)
B. (- 
; 0)
C. (√2; √3)
D. (
; 0)
Lời giải:
Đáp án: B
Ta có: 
nên tâm I(-
; 0) .
Câu 13: Đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x + 4y - 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
A. (-2; 1) B. (8; -4) C. (-8; 4) D. (2; -1)
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có ( C) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x + 2y -
= 0
⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I ( 2; -1) .
Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Lời giải:
Đáp án: C
Phương trình x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0 hay (4m)2 + (-3)2 - 9 > 0
⇔ 16m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(-6; 8)?
A. m = 1; n = -2 B. m = -2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Lời giải:
Đáp án: B
Phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0 có:
a = 3m; b = -4n và c = -1
Ta có: a2 + b2 - c = 9m2 + 16n2 + 1 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(3m; -4n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:
Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
A. x2 + y2 - x - y + 9 = 0. B. x2 + y2 - x = 0
C. x2 + y2 - 2xy – 1 = 0 D. x2 - y2 - 2x + 3y - 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: B
Loại C vì có số hạng -2xy.
Phương án A: a = b =
, c = 9 ⇒ a2 + b2 - c < 0 nên không phải phương trình đường tròn.
Phương án D: loại vì có – y2 .
Phương án B: a =
,b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 - c > 0 nên là phương trình đường tròn.
Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?
A. Không có. B. 6 C. 7 D. Vô số
Lời giải:
Đáp án: C
Phương trình : x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 có : a = 1;b = -m và c = 10
Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ 1 + m2 - 10 > 0
⇔ m2 - 9 > 0 ⇔
⇒Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn là : m ∈ { 4; 5; 6; 7; … ; 10}
Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
A. m = 2 B. m = -1 C. m = 1 D. m = -2
Lời giải:
Đáp án: B
Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 có hệ số:
a = m + 1; b = - 2 và c = -1
Để (1) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 - c > 0
⇔ (m + 1)2 + 4 + 1 > 0 ⇔(m + 1)2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)3 ≥0
Vậy với mọi m ( 1) luôn là phương trình đường tròn có bán kính :
R = 
⇒ Rmin khi và chỉ khi (m + 1)2 + 5 min
⇔ m + 1 = 0 hay m = -1
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
- Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
- Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều
