Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn - Toán lớp 10



Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn

A. Phương pháp giải

+ Vị trí tương đối của hai đường tròn :

Cho hai đường tròn (C1): tâm I1; bán kính R1 và đường tròn (C2): Tâm I2 bán kính R2.

- Nếu I1I2 > R1 + R2 thì hai đường tròn không có điểm chung .

- Nếu I1I2 = R1 + R2 thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài

- Nếu I1I2 = |R1 - R2 | thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Nếu R1 - R2 < I1I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau ( với R1 > R2) .

+ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :

Cho đường thẳng d và đường tròn ( C): tâm I; bán kính R:

- Nếu d( I; d) = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

- Nếu d( I; d) > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

- Nếu d(I; d) < R thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 - 4 = 0 và
(C2) : x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0

A. (√2; √2) và (√2; - √2)    B. (0 ; 2) và (0 ; - 2)

C. (2 ; 0) và (0 ;2)    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của 2đường tròn đã cho thỏa mãn hệ phương trình:

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm A(0; 2) và B( 2; 0).

Chọn C.

Ví dụ 2 : Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2= 4 và đường tròn
(C2) : (x + 10)2 + (y - 16)2 = 1.

A. Cắt nhau.    B. Không cắt nhau.    C. Tiếp xúc ngoài.    D. Tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn C1 có tâm và bán kính: I1 ( 0; 0) và R1 = 2

+ Đường tròn ( C2) có tâm và bán kính: I2( - 10; 16) và R2 = 1.

Khoảng cách giữa hai tâm I1I2 = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 2√89 > R1 + R2 .

Vậy ( C1) và ( C2) không có điểm chung.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 - 2 = 0 và (C2) : x2 + y2 - 2x = 0

A. (2 ; 0) và (0 ; 2) .    B. (√2; 1) và (1; -√2) .

C. (1; - 1) và (1; 1)    D. ( - 1 ; 0) và (0 ; - 1) .

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy hai giao điểm là A( 1; 1) và B( 1; - 1) .

Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : y = x và đường tròn
(C) : x2 + y2 - 2x = 0 .

A. ( 0; 0)    B. (0; 0) và (1;1) .    C. (2; 0)    D. (1;1)

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và đường tròn ( C) là nghiệm hệ phương trình:

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là A( 0; 0) và B (1; 1).

Chọn B

Ví dụ 5 : Tọa độ giao điểm của đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng
∆ : Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. (1 ; 2) và ( 2 ;1)    B. (1 ;2) và (Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ).

C. ( 2 ;5)    D. (1 ; 0) và (0 ;1)

Hướng dẫn giải

Thế Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án vào (C) ta có:

( 1 + t)2 + ( 2 + 2t)2 - 2( 1 + t) - 2( 2 + 2t) + 1 = 0

⇔ 1 + 2t + t2 + 4 + 8t + 4t2 - 2 - 2t - 4 – 4t + 1 = 0

⇔ 5t2 + 4t = 0

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn B

Ví dụ 6 : Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 = 4 và đường tròn
( C2) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 25.

A. Không cắt nhau.    B. Cắt nhau.    C. Tiếp xúc ngoài.    D. Tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải

Đường tròn ( C1) có tâm I1( 0; 0) và bán kính R1 = 2

Đường tròn ( C2) có tâm I2(3; 4) và bán kính R2 = 5

Khoảng cách hai tâm I1I2 = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 5.

Ta có: R2 - R1 = 3 < I1I2 = 5 < R2 + R1 = 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau.

Chọn B.

Ví dụ 7 : Đường tròn x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0 cắt đường thẳng d : x + y - 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 10    B. 8    C. 6    D. 3√2.

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; 1) và bán kính R= 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

d(I,d) = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 0

⇒ điểm I thuộc đườngthẳng d nên đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai điểm M và N trong đó MN là đường kính của đường tròn.

⇒ MN = 2R = 10

Vậy đường thẳng d cắt đường tròn( C) theo một dây cung có độ dài là 10.

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho đương tròn C1) có tâm I1(1; 0); bán kính R1 = 1 và đường tròn (C2) có tâm I2( - 5; 8), bán kính R2 = 11. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài    B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau    D. Không cắt nhau

Lời giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I1I2 = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 10

⇒ I1I2 = R2 - R1 = 10

⇒ Hai đương thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho đương tròn C1) có tâm I1(2; - 3); bán kính R1 = 3 và đường tròn (C2) có tâm I2(4; 7), bán kính R2 = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài    B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau    D. Không cắt nhau

Lời giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I1I2 = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √104

⇒ I1I2 > R2 + R1 = 9

⇒ Hai đường tròn đã cho không cắt nhau.

Chọn D.

Ví dụ 10. Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 4y = 0. Đường thẳng d: 2x - y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn ?

A. – 7 < m < 1    B. - 9 ≤ m ≤ 1    C. - 9 < m < 1    D. - 9 < m ≤ 1

Lời giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I ( 1; - 2) và bán kính R = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √5

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d:

d(I; d) = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Để đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hoặc cắt nhau nên:

d(I; d) ≤ R ⇔ Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ≤ √5

⇔ |4 + m| ≤ 5

⇔ - 5 ≤ 4 + m ≤ 5 ⇔ - 9 ≤ m ≤ 1

Vậy để đường thẳng d cắt đường tròn khi - 9 ≤ m ≤ 1

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1): x2 + y2 - 4 = 0 và
(C2): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0

A. (√2; √2) và (√2; - √2) .    B. (0 ; 2) và (0 ; - 2)

C. (2 ; 0) và ( 0 ; 2)    D. (2 ; 0) và ( - 2 ;0)

Đáp án: C

Trả lời:

Giao điểm của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình :

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm A( 0; 2) và B( 2; 0)

Câu 2: Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 5 và
(C2): x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0

A. (1 ; 2) và (√2; √3) .    B. (1; 2) và ( - 2 ; 1)

C. (1 ; 2) và (√3; √2) .    D. (1;2).

Đáp án: D

Trả lời:

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy toạ độ giao điểm là ( 1; 2) .

Câu 3: Đường tròn ( C) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

A. Đường thẳng đi qua điểm (2 ;6) và điểm ( - 1 ; 2)

B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0.

C. Đường thẳng đi qua điểm ( 3 ; - 2) và điểm ( 19; 33) .

D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn có tâm và bán kính là I( 2; 1) và bán kính R= 5.

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R. Nếu d > R thì đường tròn không cắt đường thẳng

* Đường thẳng (a) đi qua điểm (2 ; 6) và điểm ( - 1 ;2) nhận u( 3 ; 4) làm VTCP nên nhận n( 4 ; - 3) làm VTPT

⇒ Phương trình ( a) : 4( x - 2) – 3( y - 6) = 0 hay 4x - 3y + 10 = 0

⇒ d( I ; a) = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 3 < R

⇒ Đường tròn ( C) cắt đường thẳng này .

* ∆2: y - 4 = 0 ⇒ khoảng cách d(I, ∆2) = 3 < R ⇒ (C) cắt ∆1

* Đường thẳng ( b) đi qua điểm (3 ; - 2) và điểm ( 19 ; 30) nhận VTCP u(16 ; 32) nên nhận vTPT là n( 2 ; - 1)

⇒ Phương trình ( b) : 2( x - 3) – 1(y + 2) = 0 hay 2x - y - 8 = 0

⇒ d( I ;b) = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √5 < R

⇒ Đường tròn ( C) có căt đường thẳng (b).

*∆4: x - 8 = 0 ⇒ khoảng cách d(I, ∆4) = 6 < R ⇒ (C) không cắt ∆4.

Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : x - 2y + 3 = 0 và đường tròn
(C) : x2 + y2 - 2x - 4y = 0

A. (3; 3) và ( - 1; 1).    B. ( - 1; 1) và ( - 3; 3).    C. (3; 3) và (1; 2) .    D. (2 ; 1) và (2 ; - 1).

Đáp án: A

Trả lời:

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình sau

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy tọa độ giao điểm là (3; 3) và ( - 1 ; 1).

Câu 5: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 - 4x = 0 và
(C2) : x2 + y2 + 8y = 0.

A. Tiếp xúc trong.    B. Không cắt nhau.    C. Cắt nhau.    D. Tiếp xúc ngoài.

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x = 0 có tâm I1( 2; 0) và bán kính R1 = 2.

Đường tròn (C2) : x2 + y2 + 8y = 0 có tâm I2( 0; - 4) , bán kính R2 = 4.

Khoảng cách hai tâm : I1I2 = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 2√5

Ta có R2 - R1 < I1I2 = 2√5 < R2 + R1 nên hai đường tròn cắt nhau.

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: x + y - 7 = 0 và đường tròn
(C): x2 + y2 - 25 = 0 .

A. (3 ;4) và ( - 4 ; 3).    B. (4 ; 3)    C. (3 ; 4)    D. (3; 4) và (4; 3).

Đáp án: D

Trả lời:

Giao điểm nếu có của đường thẳng và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là ( 4; 3) và ( 3; 4)

Câu 7: Đường tròn x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 cắt đường thẳng (d) : x - y - 3 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 5    B. 2√23    C. 10    D. 5√2

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn ( C) có tâm I( 2; - 3) và bán kính R = 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

d(I, d) = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = √2 < R

⇒ đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai điểm M và N.

+ Gọi H là hình chiếu của I lên MN. Khi đó; H là trung điểm của MN ( quan hệ đường kính vuông góc với dây) .

+ Ta có IH = d(I, d) = √2

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác MIH ta có

MI2 = IH2 + HM2 ⇒ 52 = 2 + HM2 ⇒ HM2 = 23 nên HM= √23

Do H là trung điểm của MN nên MN = 2HM = 2√23

Câu 8: Đường tròn (C) : (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

A. Đường thẳng đi qua điểm (2 ; 6) và điểm (45 ; 50) .

B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0 .

C. Đường thẳng đi qua điểm (3 ; - 2) và điểm (19 ; 33)

D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn có tâm và bán kính là: I(2; 1) và R = 5.

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R:

* Đường thẳng đi qua điểm (2 ;6) và điểm (45 ; 50) : ∆1: 44x - 43y + 170 = 0

⇒ khoảng cách d(I; ∆1) = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án < R nên (C) cắt ∆1

* ∆2 : y - 4 = 0 ⇒ khoảng cách d(I; ∆2) = 3 < R nên (C) cắt ∆2

* Đường thẳng đi qua điểm (3 ; - 2) và điểm (19 ; 33): ∆3 : 35x - 16y - 137 = 0

⇒ khoảng cách d(I; ∆1) = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án < R ⇒ (C) cắt ∆3

* ∆4 : x - 8 = 0 ⇒ khoảng cách d(I; ∆4) = 6 > R nên (C) không cắt ∆4

Câu 9: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 = 4 và
(C2) : (x + 10)2 + (y - 16)2 = 1.

A. Cắt nhau.    B. Không cắt nhau.    C. Tiếp xúc ngoài.    D. Tiếp xúc trong.

Đáp án: B

Trả lời:

Đường tròn (C1) có tâm và bán kính: I1 = (0; 0) , và R1 = 2; (C2) có tâm I2 ( - 10; 16) và bán kính R2 = 1; khoảng cách giữa hai tâm I1I2 = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 2√89 > R1 + R2 .

Vậy 2 đường tròn đã cho không có điểm chung.

Câu 10: Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm A( 4; - 2)

A. x2 + y2 - 2x + 6y = 0.    B. x2 + y2 - 4x + 7y - 8 = 0.

C. x2 + y2 - 6x – 2y + 9 = 0.    D. x2 + y2 + 2x - 20 = 0.

Đáp án: A

Trả lời:

Thế tọa độ của điểm A vào phương trình đường tròn x2 + y2 - 2x + 6y = 0. ta có:

42 + ( - 2)2 - 2.4 + 6.( - 2) = 0

⇒ điểm A thuộc đường tròn.

Câu 11: Cho đương tròn C1) có tâm I1(3; 4); bán kính R1 = 5 và đường tròn (C2) có tâm I2(7; 1), bán kính R2 = 10. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài    B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau    D. Không cắt nhau

Đáp án: B

Trả lời:

+ Khoảng cách hai tâm là: I1I2 = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 5

⇒ I1I2 = R2 - R1 = 5

⇒ Hai đường thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp