Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng - Toán lớp 10



Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho đường tròn (C1): tâm I1( x1; y1); bán kính R1.

Đường tròn (C2): tâm I2(x2; y2); bán kính R2.

+ Để hai đường tròn này đối xứng với nhau qua điểm M thì M là trung điểm của I1I2 và R1 = R2.

* Nếu cho trước đường tròn ( C1) có tâm I1 bán kính R và điểm M. Để viết được phương tròn ( C2 ) đối xứng với đường tròn (C1) qua M ta cần làm như sau:

- Bước 1: Tìm điểm I2 đối xứng với I1 qua M ( khi đó M là trung điểm I1I2).

- Bước 2: Đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính là R.

⇒ Phương trình đường tròn (C2).

* Cho đường tròn (C1) tâm I1 bán kính R và đường thẳng d. Để viết được đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua d ta cần:

- Bước 1: Xác định điểm I2 đối xứng điểm I1 qua d.

- Bước 2: Lập phương trình đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính R

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(1; -2) bán kính R1 = 2 và đường tròn (C2):
Tâm I2( 3; 2) bán kính R2 = 2. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?

A. M(2; 0)    B. M(4; 0)    C. M( 2; 4)    D. M (-2; -4)

Lời giải

Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ M( 2 ; 0)

Vậy qua điểm M (2; 0) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn
(C1): x2 + y2 - 2x = 0. Qua điểm A( 2; -1) ?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 1    B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1

C. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1    D. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (1; 0) và bán kính R1 = 1.

+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 1.

+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ I2( 3; -2)

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2 . Tính R2?

A. 1    B. 3    C. 5    D. 10

Lời giải

Đường tròn ( C1) có tâm I1( 4; 2) và bán kính R1 = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ bán kính R2 = R1 = 5.

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0 và đường tròn
( C2): x2 + y2 - 2x + 6y - 2 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?

A. ( 1; - 2)    B. ( 2; 3)    C. Không tồn tại    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (-1; 2) và bán kính R1 = √6.

+ Đường tròn (C2) có tâm I2(1; -3) và bán kính R2 = √12

⇒ R1 ≠ R2.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 6y - 4 = 0 và đường thẳng d: x - 2y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 14    B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 14

C. (x - 1)2 + (y + 4)2 = 14    D. (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14

Lời giải

+ Đường tròn (C1) có tâm I1( - 1; 3) và bán kính R1 = √14

+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.

+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R2 = R1 = √14 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2: Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình I1I2: 2(x + 1) + 1(y - 3) = 0 hay 2x + y - 1 = 0.

- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H( 1; - 1).

Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ I2( 3; -5)

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0 và đường thẳng d: 5x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 10x - 10y - 10 = 0    B. x2 + y2 + 20x - 10y - 10 = 0

C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0    D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0

Lời giải

+ Đường tròn (C1): tâm I1( -4; 5).

Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 và điểm A(5; 10). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?

A. x2 + y2 - 10x + 20y - 15 = 0    B. x2 + y2 + 10x - 20y - 15 = 0

C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(5;10)

⇒ Điểm I1 ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0.

Chọn C

Ví dụ 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 6y - 2 = 0 và đường thẳng d: 3x - 4y - 9 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?

A. 5    B. 6    C. 3    D. 10

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(2;3).

+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:

d(I1; d) = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d

⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3

⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6

Chọn B

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(3; 8) bán kính R1 = 6 và đường tròn (C2): Tâm I2( -7; 4) bán kính R2 = 6. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?

A. M(2; 0)    B. M(4; 0)    C. M( -2; 6)    D. M (-2; -4)

Đáp án: C

Trả lời:

Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ M( - 2; 6)

Vậy qua điểm M (-2; 6) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn (C1): x2 + y2 + 4y = 0 Qua điểm A(0; 4) ?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 4    B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4

C. x2 + (y - 10)2 = 4    D. (x + 3)2 + y2 = 4

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -2) và bán kính R1 = 2.

+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 2.

+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ I2( 0; 10)

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): x2 + (y - 10)2 = 4

Câu 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2. Tính R2?

A. 1    B. 3    C. 5    D. 10

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn ( C1) có tâm I1(1; -4) và bán kính R1 = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ bán kính R2 = R1 = 5.

Câu 4: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8y - 2 = 0 và đường tròn
(C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?

A. ( 1;-2)    B. ( 2; 3)    C. Không tồn tại    D. Tất cả sai

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -4) và bán kính R1 = √18

+ Đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 2) và bán kính R2 = √6

⇒ R1 ≠ R2.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0 và đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9    B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 9

C. (x - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y + Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 9    D. ( x - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y + Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 9

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường tròn (C1) có tâm I1(-2; 2) và bán kính R1 = 3

+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.

+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R2 = R1 = 3 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2: Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình I1I2: 1( x + 2) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0

- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H(Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ).

Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ I2(Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 + (y + Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )2 = 9

Câu 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 4y - 4 = 0    B. x2 + y2 + 2x - 2y - 6 = 0

C. x2 + y2 + 4x - 4 = 0    D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn (C1): tâm I1 (- 2; 0)

Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0.

Câu 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 và điểm A(-6; 4). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?

A. x2 + y2 + 14x + 8y - 1 = 0    B. x2 + y2 - 12x + 8y - 1 = 0

C. x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0    D. Tất cả sai

Đáp án:

Trả lời:

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(-6; 4)

⇒ Điểm I1 ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 12x – 8y - 1 = 0.

Câu 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 – 6x + 2y - 1 = 0 và đường thẳng
d: 3x + 4y + 10 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?

A. 5    B. 6    C. 3    D. 10

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(3; -1).

+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:

d(I1; d) = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d

⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3

⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp