Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
Bài viết Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng.
- Cách giải bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
- Ví dụ minh họa bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
- Bài tập vận dụng Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
A. Phương pháp giải
Cho đường tròn (C1): tâm I1( x1; y1); bán kính R1.
Đường tròn (C2): tâm I2(x2; y2); bán kính R2.
+ Để hai đường tròn này đối xứng với nhau qua điểm M thì M là trung điểm của I1I2 và R1 = R2.
* Nếu cho trước đường tròn ( C1) có tâm I1 bán kính R và điểm M. Để viết được phương tròn ( C2 ) đối xứng với đường tròn (C1) qua M ta cần làm như sau:
- Bước 1: Tìm điểm I2 đối xứng với I1 qua M ( khi đó M là trung điểm I1I2).
- Bước 2: Đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính là R.
⇒ Phương trình đường tròn (C2).
* Cho đường tròn (C1) tâm I1 bán kính R và đường thẳng d. Để viết được đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua d ta cần:
- Bước 1: Xác định điểm I2 đối xứng điểm I1 qua d.
- Bước 2: Lập phương trình đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính R
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(1; -2) bán kính R1 = 2 và đường tròn (C2):
Tâm I2( 3; 2) bán kính R2 = 2. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?
A. M(2; 0) B. M(4; 0) C. M( 2; 4) D. M (-2; -4)
Lời giải
Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:
⇒ M( 2 ; 0)
Vậy qua điểm M (2; 0) biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn
(C1): x2 + y2 - 2x = 0. Qua điểm A( 2; -1) ?
A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 1 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1
C. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 D. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (1; 0) và bán kính R1 = 1.
+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 1.
+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:
⇒ I2( 3; -2)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2 . Tính R2?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 10
Lời giải
Đường tròn ( C1) có tâm I1( 4; 2) và bán kính R1 =
= 5
Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)
⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M
⇒ bán kính R2 = R1 = 5.
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0
và đường tròn
( C2): x2 + y2 - 2x + 6y - 2 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?
A. ( 1; - 2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (-1; 2) và bán kính R1 = √6.
+ Đường tròn (C2) có tâm I2(1; -3) và bán kính R2 = √12
⇒ R1 ≠ R2.
⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 6y - 4 = 0 và đường thẳng d: x - 2y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?
A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 14 B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 14
C. (x - 1)2 + (y + 4)2 = 14 D. (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14
Lời giải
+ Đường tròn (C1) có tâm I1( - 1; 3) và bán kính R1 = √14
+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.
+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:
R2 = R1 = √14 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.
+ Ta tìm điểm I2.
- Đường thẳng I1I2: 
⇒ Phương trình I1I2: 2(x + 1) + 1(y - 3) = 0 hay 2x + y - 1 = 0.
- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H( 1; - 1).
Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:
⇒ I2( 3; -5)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0 và đường thẳng d: 5x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?
A. x2 + y2 + 10x - 10y - 10 = 0 B. x2 + y2 + 20x - 10y - 10 = 0
C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0
Lời giải
+ Đường tròn (C1): tâm I1( -4; 5).
Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0.
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 và điểm A(5; 10). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?
A. x2 + y2 - 10x + 20y - 15 = 0 B. x2 + y2 + 10x - 20y - 15 = 0
C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(5;10)
⇒ Điểm I1 ≡ A.
⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0.
Chọn C
Ví dụ 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 6y - 2 = 0 và đường thẳng d: 3x - 4y - 9 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?
A. 5 B. 6 C. 3 D. 10
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(2;3).
+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:
d(I1; d) = 
= 3
+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d
⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3
⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6
Chọn B
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(3; 8) bán kính R1 = 6 và đường tròn (C2): Tâm I2( -7; 4) bán kính R2 = 6. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?
A. M(2; 0) B. M(4; 0) C. M( -2; 6) D. M (-2; -4)
Lời giải:
Đáp án: C
Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:
⇒ M( - 2; 6)
Vậy qua điểm M (-2; 6) biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn (C1): x2 + y2 + 4y = 0 Qua điểm A(0; 4) ?
A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4
C. x2 + (y - 10)2 = 4 D. (x + 3)2 + y2 = 4
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -2) và bán kính R1 = 2.
+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 2.
+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:
⇒ I2( 0; 10)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): x2 + (y - 10)2 = 4
Câu 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2. Tính R2?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 10
Lời giải:
Đáp án: C
Đường tròn ( C1) có tâm I1(1; -4) và bán kính R1 =
= 5
Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)
⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M
⇒ bán kính R2 = R1 = 5.
Câu 4: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8y - 2 = 0 và đường tròn
(C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?
A. ( 1;-2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -4) và bán kính R1 = √18
+ Đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 2) và bán kính R2 = √6
⇒ R1 ≠ R2.
⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Câu 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0 và đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?
A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9 B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 9
C. (x - 
)2 + (y + 
)2 = 9
D. ( x - 
)2 + (y + 
)2 = 9
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường tròn (C1) có tâm I1(-2; 2) và bán kính R1 = 3
+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.
+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:
R2 = R1 = 3 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.
+ Ta tìm điểm I2.
- Đường thẳng I1I2: 
⇒ Phương trình I1I2: 1( x + 2) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0
- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H(
; 
).
Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:
⇒ I2(
; -
)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x -
)2 + (y +
)2 = 9
Câu 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?
A. x2 + y2 + 4y - 4 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 2y - 6 = 0
C. x2 + y2 + 4x - 4 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường tròn (C1): tâm I1 (- 2; 0)
Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0.
Câu 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 và điểm A(-6; 4). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?
A. x2 + y2 + 14x + 8y - 1 = 0 B. x2 + y2 - 12x + 8y - 1 = 0
C. x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải:
Đáp án:
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(-6; 4)
⇒ Điểm I1 ≡ A.
⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 12x – 8y - 1 = 0.
Câu 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 – 6x + 2y - 1 = 0 và
đường thẳng
d: 3x + 4y + 10 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn
( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn
( C1); (C2)?
A. 5 B. 6 C. 3 D. 10
Lời giải:
Đáp án: B
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(3; -1).
+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:
d(I1; d) = 
= 3
+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d
⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3
⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn
- Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước
- Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều
