Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt (cực hay, chi tiết)



Bài viết Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt.

Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt (cực hay, chi tiết)

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Lý thuyết & Phương pháp giải

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp thế

- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

- Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

1. Phương pháp giải

a. Hệ đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Cách giải

- Đặt S = x + y, P = xy

- Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.

- Giải hệ (I') ta tìm được S và P

- Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0

b. Hệ đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

- Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔ Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

- Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

- Như vậy (II) ⇔ Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó

Quảng cáo

DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

1. Phương pháp giải

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

- Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

- Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Lời giải:

a. Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)

Ta có : Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

⇒S2 - 2(5-S) = 5 ⇒ S2 + 2S - 15 = 0

⇒ S = -5; S = 3

S = -5⇒ P = 10 (loại)

S = 3⇒ P = 2(nhận)

Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0

⇔ X = 1; X = 2

Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

b. ĐKXĐ: x ≠ 0

Hệ phương trình tương đương với

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

Bài 2: Giải hệ phương trình

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Lời giải:

a. Hệ phương trình tương đương

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 - y = -1

⇔ y2 + 4y + 5 = 0 (vn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

- Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

X2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

Quảng cáo

Bài 3: Giải hệ phương trình

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Lời giải:

a. Hệ phương trình tương đương

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

(y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x2 + y2 + (x + y - 2)2] = 0 ⇔ x = y)

(vì x2 + y2 + (x+y-2)2 > 0)

Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

x3 - 4x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 - 4x + 2) = 0

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

Bài 4: Giải hệ phương trình

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Lời giải:

a. Ta có : x3 - 3x = y3 - 3y ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2) - 3(x-y) = 0

⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 3) = 0

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Khi x = y thì hệ có nghiệm

Khi x2 + xy + y2 - 3 = 0 ⇔ x2 + y2 = 3 - xy, ta có x6 + y6 = 27

⇔ (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) = 27

⇒ (3-xy)[(3-xy)2 - 3x2y2] = 27 ⇔ 3(xy)3 + 27xy = 0

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

b. Hệ phương trình tương đương

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Bài 5: Giải hệ phương trình

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Lời giải:

a. Ta cóCác dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm

của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình

Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 ⇔ 5x2 + 6x - 27 = 0

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x2 + (2/3)x2 + 6x = 27

⇔ 14x2 + 18x - 81 = 0

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Suy ra 3(t2 - t + 1) = 2t2 - 3t + 4 ⇒ t = ±1

Thay vào (*) thì

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)

Quảng cáo

Bài 6: Cho hệ phương trìnhCác dạng bài tập Toán 10 (có lời giải). Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

Lời giải:

Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)

Ta có

Các dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)

Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)

Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhCác dạng bài tập Toán 10 (có lời giải)có nghiệm

Lời giải:

Hệ phương trình tương đương

(x2 + y2 - 2xy) - (x + y - 4xy) = m + 1 - 2m ⇔ (x+y)2 - (x+y) + m - 1 = 0

Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0

⇔ m ≤ 5/4

Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4

Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải hệ phương trình 5x+y=6x5y=6.

Bài 2. Giải hệ phương trình 2x2+2xy1=3x2+x+2y1=4.

Bài 3. Giải hệ phương trình 2x3x2+y+7y+3=5x+1x2+3y+1y+3=5.

Bài 4. Giải hệ phương trình x+y=1yx=1.

Bài 5. Giải hệ phương trình x+5y+z=22x9y+2z=83x4y+z=5.

Bài 6. Giải hệ phương trình 5x+y=6x5y=6.

Bài 7. Giải hệ phương trình 2x2+2xy1=3x2+x+2y1=4.

Bài 8. Giải hệ phương trình 2x3x2+y+7y+3=5x+1x2+3y+1y+3=5.

Bài 9. Giải hệ phương trình x+y=1yx=1.

Bài 10. Giải hệ phương trình x+5y+z=22x9y+2z=83x4y+z=5.

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp


Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học