Các dạng hệ phương trình đặc biệt



Chuyên đề: Phương trình - Hệ phương trình

Các dạng hệ phương trình đặc biệt

Lý thuyết & Phương pháp giải

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

1. Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp thế

- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

- Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

1. Phương pháp giải

a. Hệ đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Cách giải

- Đặt S = x + y, P = xy

- Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.

- Giải hệ (I') ta tìm được S và P

- Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0

b. Hệ đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

- Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

- Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

- Như vậy (II) ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó

DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

1. Phương pháp giải

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

- Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

- Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)

Ta có : Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

⇒S2 - 2(5-S) = 5 ⇒ S2 + 2S - 15 = 0

⇒ S = -5; S = 3

S = -5⇒ P = 10 (loại)

S = 3⇒ P = 2(nhận)

Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0

⇔ X = 1; X = 2

Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

b. ĐKXĐ: x ≠ 0

Hệ phương trình tương đương với

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

Bài 2: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương đương

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 - y = -1

⇔ y2 + 4y + 5 = 0 (vn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

- Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

X2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

Bài 3: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương đương

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

(y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x2 + y2 + (x + y - 2)2] = 0 ⇔ x = y)

(vì x2 + y2 + (x+y-2)2 > 0)

Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

x3 - 4x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 - 4x + 2) = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

Bài 4: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Ta có : x3 - 3x = y3 - 3y ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2) - 3(x-y) = 0

⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 3) = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Khi x = y thì hệ có nghiệm

Khi x2 + xy + y2 - 3 = 0 ⇔ x2 + y2 = 3 - xy, ta có x6 + y6 = 27

⇔ (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) = 27

⇒ (3-xy)[(3-xy)2 - 3x2y2] = 27 ⇔ 3(xy)3 + 27xy = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b. Hệ phương trình tương đương

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài 5: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Ta cóToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm

của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình

Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 ⇔ 5x2 + 6x - 27 = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x2 + (2/3)x2 + 6x = 27

⇔ 14x2 + 18x - 81 = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra 3(t2 - t + 1) = 2t2 - 3t + 4 ⇒ t = ±1

Thay vào (*) thì

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)

Bài 6: Cho hệ phương trìnhToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)

Ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)

Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp áncó nghiệm

Hướng dẫn:

Hệ phương trình tương đương

(x2 + y2 - 2xy) - (x + y - 4xy) = m + 1 - 2m ⇔ (x+y)2 - (x+y) + m - 1 = 0

Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0

⇔ m ≤ 5/4

Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 10 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 10 và Hình học 10.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp