Các dạng bài tập Phương trình, Hệ phương trình chọn lọc có lời giải

---

---

Bài viết Các dạng bài tập Phương trình, Hệ phương trình chọn lọc với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các dạng bài tập Phương trình, Hệ phương trình chọn lọc .

Các dạng bài tập Phương trình, Hệ phương trình chọn lọc có lời giải

Bài giảng: Bài 1: Đại cương về phương trình - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên VietJack)

Phần dưới là Chuyên đề tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán 10 Đại số Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình có đáp án. Bạn vào tên bài hoặc Xem chi tiết để theo dõi các chuyên đề Toán lớp 10 Đại số tương ứng.

Tổng hợp lý thuyết chương Phương trình, Hệ phương trình

Các dạng bài tập chương Phương trình, Hệ phương trình

• Đại cương về phương trình và cách giải
• Phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải
• Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải
• Các dạng toán về hệ phương trình và cách giải
• Dạng 1: Tìm tập xác định của phương trình Xem chi tiết
• Bài tập tìm tập xác định của phương trình Xem chi tiết
• Dạng 2: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương Xem chi tiết
• Bài tập giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương Xem chi tiết
• Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất Xem chi tiết
• Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất Xem chi tiết
• Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai Xem chi tiết
• Bài tập giải và biện luận phương trình bậc hai Xem chi tiết
• Dạng 5: Nghiệm của phương trình bậc hai Xem chi tiết
• Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai Xem chi tiết
• Dạng 6: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Xem chi tiết
• Bài tập phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Xem chi tiết
• Dạng 7: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Xem chi tiết
• Bài tập phương trình chứa ẩn ở mẫu Xem chi tiết
• Dạng 8: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Xem chi tiết
• Bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Xem chi tiết
• Dạng 9: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai Xem chi tiết
• Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai Xem chi tiết
• Dạng 10: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất Xem chi tiết
• Bài tập giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất Xem chi tiết
• Dạng 11: Các dạng hệ phương trình đặc biệt Xem chi tiết
• Bài tập các dạng hệ phương trình đặc biệt Xem chi tiết

Cách tìm tập xác định của phương trình

Lý thuyết & Phương pháp giải

1. Khái niệm phương trình một ẩn

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là D_f và D_g.

Đặt D = D_f ∩ D_g. Mệnh đề chứa biến "f(x) = g(x)" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình.

Số x₀ ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu "f(x_o) = g(x_o)" là một mệnh đề đúng.

2. Phương trình tương đương

Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Nếu phương trình f₁(x) = g₁(x) tương đương với phương trình f₂(x) = g₂(x) thì viết

f₁(x) = g₁(x) ⇔ f₂(x) = g₂(x)

Định lý 1: Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D và y = h(x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên miền D, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:

    (1): f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

    (2): f(x).h(x) = g(x).h(x) với h(x) ≠ 0, ∀x ∈ D.

3. Phương trình hệ quả

Phương trình f₁(x) = g₁(x) có tập nghiệm là S₁ được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f₂(x) = g₂(x) có tập nghiệm S₂ nếu S₁ ⊂ S₂.

Khi đó viết:

f₁(x) = g₁(x) ⇒ f₂(x) = g₂(x)

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho: f(x) = g(x) ⇒ [f(x)]² = [g(x)]².

Lưu ý:

    + Nếu hai vế của 1 phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương 2 vế của nó, ta được một phương trình tương đương.

    + Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai.

4. Phương pháp giải tìm tập xác định của phương trình

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f(x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).

- Điều kiện để biểu thức

    +  √(f(x)) xác định là f(x) ≥ 0

    +  1/f(x) xác định là f(x) ≠ 0

    +  1/√(f(x)) xác định là f(x) > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Khi giải phương trình √(x² - 5) = 2 - x  (1), một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

x² - 5 = (2 - x)²     (2)

Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 4x = 9

Bước 3: (2) ⇔ x = 9/4

Vậy phương trình có một nghiệm là x = 9/4

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

Lời giải:

Vì phương trình (2) là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x = 9/4 vào phương trình (1) để thử lại. Nên sai ở bước thứ 3.

Bài 2: Khi giải phương trìnhmột học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1:

Bước 2:

Bước 3: ⇔ x = 3 ∪ x = 4

Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = {3; 4}

Cách giải trên sai từ bước nào?

Lời giải:

Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên nên sai ở bước 2.

Bài 3: Tìm tập xác định của phương trình

Lời giải:

Điều kiện xác định: x² + 1 ≠ 0 (luôn đúng)

Vậy TXĐ: D = R.

Cách giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

Lý thuyết & Phương pháp giải

- Phương trình tương đương: Hai phương trình f₁(x) = g₁(x) và f₂(x) = g₂(x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

- Kí hiệu là f₁(x) = g₁(x) ⇔ f₂(x) = g₂(x)

- Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

- Phương trình hệ quả: f₂(x) = g₂(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f₁(x) = g₁(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f₁(x) = g₁(x)

- Kí hiệu là f₁(x) = g₁(x) ⇒ f₂(x) = g₂(x)

- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:

   + Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

   + Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

   + Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện:

Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện:

Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*)

Nếu x ≠ 3. thì (*)

Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3

Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}

Bài 3: Giải phương trình

Lời giải:

a. Điều kiện: x ≥ -1.

Ta có x = -1 là một nghiệm.

Nếu x > -1 thì √(x+1) > 0. Do đó phương trình tương đương

x² - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}

b. ĐKXĐ: x > 2

Với điều kiện đó phương trình tương đương với phương trình

x² = 1 - (x - 2)⇔ x² + x - 3 = 0

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lý thuyết & Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Phương trình dạng |f(x)|=|g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:

hoặc |f(x)| = |g(x)|⇔ f²(x) = g²(x)

- Đối với phương trình dạng |f(x)| = g(x)(*) ta có thể biến đổi tương đương như sau:

Hoặc

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình |3x - 2| = x² + 2x + 3

Lời giải:

Ta có:

* Nếu x ≥ 2/3 ⇒ PT ⇔ 3x - 2 = x² + 2x + 3 ⇔ x² - x + 5 = 0 pt vô nghiệm

* Nếu x < 2/3 ⇒ PT ⇔ -3x + 2 = x² + 2x + 3 ⇔ x² + 5x + 1 = 0

⇔ x = (-5 ± √21)/2 hai nghiệm này đều thỏa mãn x < 2/3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = (-5 ± √21)/2

Bài 2: Giải phương trình |x³ - 1| = |x² - 3x + 2|

Lời giải:

Hai về không âm bình phương hai vế ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1; -1 + √2; -1 - √2}

Bài 3: Giải phương trình

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 1

Phương trình tương đương

Đặt t = |x - 1 - 3/(x-1)|

Suy ra

Phương trình trở thành t² + 6 = 7t ⇔ t² - 7t + 6 = 0 ⇔

Với t = 1 ta có

Với t = 6 ta có

Vậy phương trình có nghiệm là

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có lời giải hay khác:

• Chuyên đề: Mệnh đề - Tập hợp
• Chuyên đề: Hàm số bậc nhất và bậc hai
• Chuyên đề: Bất đẳng thức. Bất phương trình
• Chuyên đề: Thống kê
• Chuyên đề: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác
• Chuyên đề: Vectơ
• Chuyên đề: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
• Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---