Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất (cực hay)

---

---

Bài viết Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất.

Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất (cực hay)

Lý thuyết & Phương pháp giải

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

ax + by = c   (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x₀; y₀) đều là nghiệm.

b. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

y = (-a/b)x + c/b   (2)

Cặp số (x₀; y₀) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1).

Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.

Xét D		Kết quả
D ≠ 0		Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D
D = 0	Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0	Hệ vô nghiệm.
	Dx = Dy = 0	Hệ có vô số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm (x; y) của hệ (I) là tọa độ điểm M(x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:

(d₁): a₁x + b₁1y = c₁ và (d₂): a₂x + b₂y = c₂

   + Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔(d₁) và (d₂) cắt nhau.

   + Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d₁) và (d₂) song song với nhau.

   + Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d₁) và (d₂) trùng nhau.

3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d

trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số (x₀, y₀, z₀) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (2).

Phương pháp giải

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Lời giải:

a. Ta có: y = 1-√2x ⇒ 3x + √2(1-√2.x) = 2 ⇒ x = 2 - √2 ⇒ y = 3 - 2√2

b. Ta có: Thế y = 4 - 2x vào phương trình y + z = 2 + √2 ta được -2x + z = -2 + √2

Giải hệ ta được x = 1; z = √2 ⇒ y = 2

Bài 2: Giải hệ phương trình

Lời giải:

ĐK: xy ≠ 0. Khi đó

Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên (a; b) sao cho hệ phương trình

vô nghiệm

Lời giải:

Ta có ax + y = 2 ⇒ y = 2 - ax

Thay vào phương trình 6x + by = 6 có

6x + b(2-ax) = 6 ⇔ x(6-ab) + 2b - 6 = 0

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình x(6-ab) + 2b - 6 = 0 vô nghiệm

Do (a; b) nguyên nên (a; b) = {(6; 1); (1; 6); (-6; -1); (-1; -6); (-2; -3); (-3; -2); (3; 2)}

Bài 4: Gọi (x₀; y₀; z₀) là nghiệm của hệ phương trình

Tính giá trị của biểu thức P = x₀y₀z₀

Lời giải:

Ta có

Phương trình (3) ⇔ z = 24 - 3x - 2y. Thay vào (1) và (2) ta được hệ phương trình

Suy ra z = 24 - 3.4 - 2.5 = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (4; 5; 2) → P = 4.5.2 = 40

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

có duy nhất một nghiệm.

Lời giải:

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Hệ phương trình

Có nghiệm duy nhất khi (1; -2) là nghiệm của phương trình 2mx + 5y - m = 0 tức là 2m.1 + 5.(-2) - m = 0 ⇔ m = 10

Bài 6: Cho hệ phương trình . Tìm các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có :

Đẳng thức xảy ra khi a = 1/2

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}(m+1)x-y=m+1 \left(1\right)\\ x+(m-1)y=2 \left(2\right)\end{array}\right.$

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn trên theo tham số m.

Hướng dẫn giải:

Từ (1), ta có

y = (m + 1)x – (m + 1)          (3)

Thế vào (2) ta được

x + (m – 1)[(m + 1)x - (m + 1)] = 2

⇔ x(m² - 1)x - (m² - 1) = 2

⇔ m²x = m² + 1         (4)

• TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT (4) có nghiệm duy nhất

$x=\frac{m^2+1}{m^2}$ thay vào (3) ta có

Khi đó hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = $\left(\frac{m^2+1}{m^2};\frac{m+1}{m^2}\right)$.

• TH2: Nếu m = 0 thì PT (4) trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm

Khi đó hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy với m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = $\left(\frac{m^2+1}{m^2};\frac{m+1}{m^2}\right)$;

với m = 0 hệ vô nghiệm.

Bài 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+3y=-2 \left(1\right)\\ m^{2}x-6y=4 \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Từ (1), ta có $y=\frac{1}{3}(-mx-2)$        (3)

Thế vào (2) ta được

$m^{2}x-6.\frac{1}{3}(-mx-2)=4$

$\iff (m^2+2m)x=0$              (4)

Hệ có nghiệm duy nhất khi m² + 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0; m ≠ -2.

Bài 3. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=1 \left(1\right)\\ mx+2y=m \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Từ (1), ta có y = 1 - x         (3)

Thế vào (2) ta được

mx - 2(1 - x) = m

⇔ (m - 2)x = m - 2             (4)

Hệ có nghiệm duy nhất khi m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2.

Bài 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=1 \left(1\right)\\ mx-y=-m \left(2\right)\end{array}\right.$

Chứng tỏ rằng với mọi m hệ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Từ (2), ta có y = mx + m   (3)

Thế vào (1) ta được

x + m(mx + m) = 1

⇔ (m² + 1)x = 1 - m²

⇔ $x=\frac{1-m^2}{m^2+1}$           (4)

Thế vào (3) ta được

$y=m.\frac{1-m^2}{m^2+1}+m=\frac{m(1-m^2)+m(m^2+1)}{m^2+1}=\frac{2m}{m^2+1}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.

Hệ có nghiệm duy nhất khi m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2.

Bài 5. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=1 \left(1\right)\\ mx+2y=m \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Từ (1), ta có y = 1 - x            (3)

Thế vào (2) ta được mx - 2(1 - x) = m ⇔ (m - 2)x = m - 2        (4)

Hệ có vô số nghiệm khi m - 2 = 0 ⇔ m = 2.

Bài 6. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=1 \left(1\right)\\ 5x-3y=m+1 \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm.

Bài 7. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-3y=m \left(1\right)\\ -5x+15y=-20 \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ có vô số nghiệm.

Bài 8. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3mx+5y=1 \left(1\right)\\ 2x+my=4 \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Bài 9. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+2y=5 \left(1\right)\\ 2x+y=m \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Bài 10. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-3y=m \left(1\right)\\ -5x+15y=-20 \left(2\right)\end{array}\right.$

Tìm m để hệ vô nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
• Bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
• Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
• Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---