Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất



Chuyên đề: Phương trình - Hệ phương trình

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất

Lý thuyết & Phương pháp giải

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

ax + by = c   (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0; y0) đều là nghiệm.

b. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

y = (-a/b)x + c/b   (2)

Cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1).

Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án
Xét DKết quả
D ≠ 0Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D
D = 0Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0Hệ vô nghiệm.
Dx = Dy = 0Hệ có vô số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm (x; y) của hệ (I) là tọa độ điểm M(x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:

(d1): a1x + b11y = c1 và (d2): a2x + b2y = c2

   + Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔(d1) và (d2) cắt nhau.

   + Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau.

   + Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d

trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số (x0, y0, z0) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (2).

Phương pháp giải

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Ta có: y = 1-√2x ⇒ 3x + √2(1-√2.x) = 2 ⇒ x = 2 - √2 ⇒ y = 3 - 2√2

b. Ta có: Thế y = 4 - 2x vào phương trình y + z = 2 + √2 ta được -2x + z = -2 + √2

Giải hệ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ta được x = 1; z = √2 ⇒ y = 2

Bài 2: Giải hệ phương trìnhToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

ĐK: xy ≠ 0. Khi đó

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên (a; b) sao cho hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án vô nghiệm

Hướng dẫn:

Ta có ax + y = 2 ⇒ y = 2 - ax

Thay vào phương trình 6x + by = 6 có

6x + b(2-ax) = 6 ⇔ x(6-ab) + 2b - 6 = 0

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình x(6-ab) + 2b - 6 = 0 vô nghiệm

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Do (a; b) nguyên nên (a; b) = {(6; 1); (1; 6); (-6; -1); (-1; -6); (-2; -3); (-3; -2); (3; 2)}

Bài 4: Gọi (x0; y0; z0) là nghiệm của hệ phương trình Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Tính giá trị của biểu thức P = x0y0z0

Hướng dẫn:

Ta có Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Phương trình (3) ⇔ z = 24 - 3x - 2y. Thay vào (1) và (2) ta được hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra z = 24 - 3.4 - 2.5 = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (4; 5; 2) → P = 4.5.2 = 40

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp áncó duy nhất một nghiệm.

Hướng dẫn:

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Có nghiệm duy nhất khi (1; -2) là nghiệm của phương trình 2mx + 5y - m = 0 tức là 2m.1 + 5.(-2) - m = 0 ⇔ m = 10

Bài 6: Cho hệ phương trình Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án. Tìm các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Ta có :

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Đẳng thức xảy ra khi a = 1/2

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Ngữ Văn lớp 10 - thầy Nguyễn Thanh Bình

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp