Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (đầy đủ, chi tiết)

---

---

Bài viết Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.

Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (đầy đủ, chi tiết)

Lý thuyết & Phương pháp giải

Phương trình trùng phương: ax⁴ + bx² + c = 0, (a ≠ 0) (*)

- Đặt t = x² ≥ 0 thì (*) ⇔ at² + bt + c = 0  (**)

- Để xác định số nghiệm của (*), ta dựa vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng, cụ thể:

   + Để (*) vô nghiệm ⇔

   + Để (*) có 1 nghiệm

⇔

   + Để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔

   + Để (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.

   + Để (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1. ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 với e/a =(d/b)² ≠ 0

Phương pháp giải: Chia hai vế cho x² ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t² = (x + α/x)² với α = d/b

Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d

Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e

⇔ [x² + (a+c)x + ac]⋅[x² + (b+d)x + bd] = e và đặt t = x² + (a+c)x

Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex² với a.b = c.d

Phương pháp giải: Đặt t = x² + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình

⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex² (có dạng đẳng cấp)

Loại 4. (x+a)⁴ + (x+b)⁴ = c

Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)⁴ + (t - α)⁴ = c với α = (a-b)/2

Loại 5. x⁴ = ax² + bx + c (1)

Phương pháp giải: Tạo ra dạng A² = B² bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x² + k², tức phương trình (1) tương đương:

(x²)² + 2kx² + k² = (2k+a)x² + bx + c + k² ⇔ (x² + k)² = (2k + a)x² + bx + c + k²

Cần vế phải có dạng bình phương

⇒

Loại 6. x⁴ + ax³ = bx² + cx + d   (2)

Phương pháp giải: Tạo A² = B² bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: (x² + (a/2)x + k)² = x⁴ + ax³ + (2k + a²/4)x² + kax + k². Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: (2k + a²/4)x² + kax + k², thì phương trình

(2)⇔ (x² + (a/2)x + k)² = (2k + (a²/4) + b)x² + (ka + c)x + k² + d

Lúc này cần số k thỏa:

Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai

Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

   + Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1

   + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x = -1

   + Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai

Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 2x⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 2 = 0

Lời giải:

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x² ta được: 2(x² + 1/x²) - 5(x + 1/x) + 6 = 0

Đặt t = x + 1/x, ⇒ x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 = t² - 2

Ta có phương trình: 2(t² - 2) - 5t + 6 = 0 ⇔ 2t² - 5t + 2 = 0 ⇔

   + t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x² - x + 2 = 0 (vô nghiệm)

   + t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x² - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24

Lời giải:

Phương rình tương đương với (x² + 3x)(x² + 3x + 2) = 24

Đặt t = x² + 3x, phương trình trở thành

t(t+2) = 24 ⇔ t² + 2t - 24 = 0 ⇔

   + t = -6 ⇒ x² + 3x = -6 ⇔ x² + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

   + t = 4 ⇒ x² + 3x = 4 ⇔ x² + 3x - 4 = 0 ⇔

Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1

Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x²

Lời giải:

Phương trình tương đương với 4(x² + 17x + 60)(x² + 16x + 60) = 3x²  (*)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x² ta có

(*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3

Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành

4(y+1)y = 3 ⇔ 4y² + 4y - 3 = 0 ⇔

Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x² + 31x + 120 = 0

⇔

Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x² + 35x + 120 = 0

⇔

Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và

Bài 4: Giải phương trình (x+1)⁴ + (x+3)⁴ = 2

Lời giải:

Đặt x = t - 2 phương trình trở thành (t-1)⁴ + (t+1)⁴ = 2 ⇔ t⁴ + 6t² = 0 ⇔ t²(t² + 6) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra x = -2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

Bài 5: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3

Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta được u² + uv = 12v²

⇔(u - 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v

+) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x² + 4x + 3 = 3x² - 12x + 12

⇔2x² - 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √46)/2

+) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x² + 4x + 3 = -4x² + 16x - 16

⇔ 5x² - 12x + 19 = 0(Vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √46)/2

Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình $\sqrt{2x^2-4x-2}=\sqrt{x^2-x-2}.$

Hướng dẫn giải:

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được

2x² - 4x - 2 = x² - x - 2

x² - 3x = 0

x(x - 3) = 0

x = 0 hoặc x = 3.

Thử lại ta thấy x = 0; x = 3 thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;3}.

Bài 2. Giải phương trình $\sqrt{2x^2-5x-9}=x-1$.

Hướng dẫn giải:

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được

2x² - 5x - 9 = (x - 1)²

2x² - 5x - 9 = x² - 2x + 1

x² - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

x = -2 hoặc x = 5.

Thử lại ta thấy x = −2; x = 5 thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {-2;5}.

Bài 3. Giải phương trình $(x^2-4x+3)\sqrt{x-2}=0$.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x ≥ 2.

(x² - 4x + 3)$\sqrt{x-2}$ = 0

x² - 4x + 3 = 0 hoặc x - 2 = 0

x = 1 hoặc x = 3 hoặc x – 2 = 0

Trường hợp x = 1 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình nên phương trình có tập nghiệm là {2; 3}.

Bài 4. Tìm tham số m để phương trình $(x^2-x)\sqrt{x-m}=0$ có duy nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 1

(x² - x)$\sqrt{x-m}$ = 0

x² - x = 0 hoặc x - m = 0

x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = m

Ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất là x = m = 1 hoặc x = m > 1.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m ≥ 1.

Bài 5. Tìm nghiệm của phương trình $x(x^2-1)\sqrt{x-1}=0$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 1 

$x(x^2-1)\sqrt{x-1}=0$

x = 0 hoặc x² – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1.

Ta thấy chỉ x = 1 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

Bài 6. Tìm nghiệm của phương trình $\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{-2x^2-9x+1}$.

Bài 7. Tìm nghiệm của phương trình $\sqrt{3x^2-13x+14}=x-3$.

Bài 8. Tìm nghiệm của phương trình $(x^2-3x+2)\sqrt{x-3}=0$.

Bài 9. Tìm m để phương trình $(x^2+4x+3)\sqrt{x-m}=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Bài 10. Tìm m để phương trình $\sqrt{x^2-x-m}=\sqrt{x-1}$ có duy nhất một nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất
• Bài tập giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất
• Các dạng hệ phương trình đặc biệt
• Bài tập các dạng hệ phương trình đặc biệt

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---