Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai



Chuyên đề: Phương trình - Hệ phương trình

Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết & Phương pháp giải

Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)

- Đặt t = x2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at2 + bt + c = 0  (**)

- Để xác định số nghiệm của (*), ta dựa vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng, cụ thể:

   + Để (*) vô nghiệm ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

   + Để (*) có 1 nghiệm

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

   + Để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

   + Để (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.

   + Để (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 với e/a =(d/b)2 ≠ 0

Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t2 = (x + α/x)2 với α = d/b

Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d

Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e

⇔ [x2 + (a+c)x + ac]⋅[x2 + (b+d)x + bd] = e và đặt t = x2 + (a+c)x

Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex2 với a.b = c.d

Phương pháp giải: Đặt t = x2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình

⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex2 (có dạng đẳng cấp)

Loại 4. (x+a)4 + (x+b)4 = c

Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)4 + (t - α)4 = c với α = (a-b)/2

Loại 5. x4 = ax2 + bx + c (1)

Phương pháp giải: Tạo ra dạng A2 = B2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x2 + k2, tức phương trình (1) tương đương:

(x2)2 + 2kx2 + k2 = (2k+a)x2 + bx + c + k2 ⇔ (x2 + k)2 = (2k + a)x2 + bx + c + k2

Cần vế phải có dạng bình phương

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Loại 6. x4 + ax3 = bx2 + cx + d   (2)

Phương pháp giải: Tạo A2 = B2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: (x2 + (a/2)x + k)2 = x4 + ax3 + (2k + a2/4)x2 + kax + k2. Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: (2k + a2/4)x2 + kax + k2, thì phương trình

(2)⇔ (x2 + (a/2)x + k)2 = (2k + (a2/4) + b)x2 + (ka + c)x + k2 + d

Lúc này cần số k thỏa:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai

Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

   + Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1

   + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x = -1

   + Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai

Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 2(x2 + 1/x2) - 5(x + 1/x) + 6 = 0

Đặt t = x + 1/x, ⇒ x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2 = t2 - 2

Ta có phương trình: 2(t2 - 2) - 5t + 6 = 0 ⇔ 2t2 - 5t + 2 = 0 ⇔Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

   + t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x2 - x + 2 = 0 (vô nghiệm)

   + t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24

Hướng dẫn:

Phương rình tương đương với (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 24

Đặt t = x2 + 3x, phương trình trở thành

t(t+2) = 24 ⇔ t2 + 2t - 24 = 0 ⇔Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

   + t = -6 ⇒ x2 + 3x = -6 ⇔ x2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

   + t = 4 ⇒ x2 + 3x = 4 ⇔ x2 + 3x - 4 = 0 ⇔Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1

Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2

Hướng dẫn:

Phương trình tương đương với 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2  (*)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x2 ta có

(*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3

Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành

4(y+1)y = 3 ⇔ 4y2 + 4y - 3 = 0 ⇔Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x2 + 31x + 120 = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x2 + 35x + 120 = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 vàToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài 4: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = 2

Hướng dẫn:

Đặt x = t - 2 phương trình trở thành (t-1)4 + (t+1)4 = 2 ⇔ t4 + 6t2 = 0 ⇔ t2(t2 + 6) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra x = -2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

Bài 5: Giải phương trìnhToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3

Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta được u2 + uv = 12v2

⇔(u - 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v

+) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = 3x2 - 12x + 12

⇔2x2 - 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √46)/2

+) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = -4x2 + 16x - 16

⇔ 5x2 - 12x + 19 = 0(Vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √46)/2

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Ngữ Văn lớp 10 - thầy Nguyễn Thanh Bình

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp