Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai (cực hay)

---

---

Bài viết Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai.

Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai (cực hay)

Lý thuyết & Phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax² + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

   - Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

   - Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b² - 4ac. Khi đó:

      + Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

      + Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a

      + Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

- Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm

- Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất

Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình (m–1)x² + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Lời giải:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình (x² - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Lời giải:

Phương trình (x² - 3x + m)(x - 1) = 0 ⇔

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình mx² - mx + 1 = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0: vô nghiệm.

Khi m ≠ 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Δ = m² - 4m ≥ 0

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta được

Vì ∈ Z, m ∈ [-10;10] m ∈ {-10; -9; -8;...; -1} ∪ {4; 5; 6;...; 10}

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x² - 2x + 3 và y = x² - m có điểm chung

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm -x² - 2x + 3 = x² - m

⇔ 2x² + 2x - m - 3 = 0.    (*)

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇔ Δ' = 1 - 2(-m-3) ≥ 0 ⇔ m ≥ -7/2

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P): y = (m–1)x² + 2mx + 3m – 1

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm (m-1)x² + 2mx + 3m - 1 = 2x + m

⇔ (m-1)x² + 2(m-1)x + 2m - 1 = 0  (*)

Để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m sau:

$x^2-2\left(3m-1\right)x+9m^2-6m-8=0$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac={\left(3m-1\right)}^2-1.\left(9m^2-6m-8\right)=9>0$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Bài 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m sau:

$3x^2-mx+9m^2+m^2=0$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\Delta =b^2-ac={\left(-m\right)}^2-\mathrm{4.3.}{m}^2=-11m^2\le 0$

+ Trường hợp Δ = 0 $\iff -11m^2=0\iff m=0$

Phương trình có nghiệm kép $x=\frac{0}{2.3}=0$.

+ Trường hợp Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Bài 3. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

$m{x}^2-2\left(m-1\right)x+\left(m+1\right)=0$.

Hướng dẫn giải

Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi $\left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \Delta \text{'}>0\end{array}\right.$

Ta có $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac={\left(m-1\right)}^2-m.\left(m+1\right)=-3m+1$

$\Delta \text{'}>0\iff -3m+1>0\iff m<\frac{1}{3}$.

Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi $\left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m<\frac{1}{3}\end{array}\right.$.

Bài 4. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m sau:

$\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0$.

Hướng dẫn giải

+) Trường hợp m = 1 nghĩa là a = 0

Ta có $\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0$

-2x + 3 = 0

$x=\frac{3}{2}$

+) Trường hợp m ≠ 1 nghĩa là a ≠ 0.

Ta có $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac=m^2-\left(m-1\right).\left(m+2\right)=-m+2$

• $\Delta \text{'}=0$ hay -m + 2 = 0 hay m = 2 thì phương trình có nghiệm kép.

• $\Delta \text{'}>0$ hay -m + 2 > 0 hay m > 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• $\Delta \text{'}<0$ hay -m + 2 < 0 hay m < 2 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 5. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

$x^2-2\left(m-4\right)x+m^2=0$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac={\left(m-4\right)}^2-1.m^2=-8m+16$.

Xét các trường hợp của ∆’, ta có:

• $\Delta \text{'}=0$ hay -8m + 16 = 0 hay m = 2 thì phương trình có nghiệm kép.

• $\Delta \text{'}>0$ hay -8m + 16 > 0 hay m > 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• $\Delta \text{'}<0$ hay -8m + 16 < 0 hay m < 2 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 6. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

$\left(m-1\right)x^2-3mx+2m+1=0$.

Bài 7. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

$m{x}^2-2m^{2}x+1=0$.

Bài 8. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

$\left(2m-7\right)x^2+2\left(2m+5\right)x-14m+1=0$.

Bài 9. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

$x^2-mx+3m+1=0$.

Bài 10. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

$\left(m-3\right)x^2-5mx+3m-2=0$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Nghiệm của phương trình bậc hai
• Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai
• Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
• Bài tập phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---