Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai (cực hay)
Bài viết Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai cực hay với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai cực hay.
Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai (cực hay)
Lý thuyết & Phương pháp giải
a. Định lí Vi-ét.
Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = -b/a và x1.x2 = c/a
b. Ứng dụng.
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x1)(x - x2)
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0.
- Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
- Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = -b/a, P = c/a. khi đó
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho phương trình x2 - 3x - 5 = 0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Phương trình x2 - 3x - 5 = 0 (*), có Δ = (-3)2 - 4.(-5) = 29 > 0 → (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo hệ thức Viet, ta có
Bài 2: Giả sử phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2. Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2) theo m
Lời giải:
Theo định lý Viet, ta có
Thay vào P, ta được P = 3(m2 + 2) - 5(2m + 1) = 3m2 - 10m + 1
Bài 3: Giả sử phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2|
Lời giải:
Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0
Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = -(-4a/2) = 2a và x1.x2 = -1/2 (1)
Ta có T = |x1 - x2| ⇔ T2 = (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra T2 = (2a)2 -4.(-1/2) = 4a2 + 2 ⇒ T = √(4a2 + 2) > 0
Bài 4: Cho hai phương trình x2 - mx + 2 = 0 và x2 + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?
Lời giải:
Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x2 - mx + 2 = 0
Suy ra 3-x0 là một nghiệm của phương trình x2 + 2x - m = 0
Khi đó, ta có hệ
Thay (2) vào (1), ta được x02 - (x02 - 8x0 + 15)x0 + 2 = 0
cho ta 3 giá trị của m cần tìm
Bài 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2(x1 + x2) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
Ta có Δ' = (m+1)2 - (m2 + 2) = 2m - 1
Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2. (*)
Theo định lý Viet, ta có
Khi đó 1
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2
Bài 6: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức có giá trị nguyên
Lời giải:
Ta có Δ = (2m + 1)2 - 4(m2 + 1) = 4m - 3
Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4
Theo định lý Viet, ta có
Khi đó
Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2
Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2
Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
- Bài tập phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Bài tập phương trình chứa ẩn ở mẫu
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD