Nghiệm của phương trình bậc hai



Chuyên đề: Phương trình - Hệ phương trình

Nghiệm của phương trình bậc hai

Lý thuyết & Phương pháp giải

a. Định lí Vi-ét.

Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = -b/a và x1.x2 = c/a

b. Ứng dụng.

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

- Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x1)(x - x2)

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0.

- Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

- Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = -b/a, P = c/a. khi đó

   + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   + Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khiToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

   + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khiToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình x2 - 3x - 5 = 0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Phương trình x2 - 3x - 5 = 0 (*), có Δ = (-3)2 - 4.(-5) = 29 > 0 → (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo hệ thức Viet, ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài 2: Giả sử phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2. Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2) theo m

Hướng dẫn:

Theo định lý Viet, ta cóToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Thay vào P, ta được P = 3(m2 + 2) - 5(2m + 1) = 3m2 - 10m + 1

Bài 3: Giả sử phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2|

Hướng dẫn:

Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0

Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = -(-4a/2) = 2a và x1.x2 = -1/2     (1)

Ta có T = |x1 - x2| ⇔ T2 = (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra T2 = (2a)2 -4.(-1/2) = 4a2 + 2 ⇒ T = √(4a2 + 2) > 0

Bài 4: Cho hai phương trình x2 - mx + 2 = 0 và x2 + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?

Hướng dẫn:

Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x2 - mx + 2 = 0

Suy ra 3-x0 là một nghiệm của phương trình x2 + 2x - m = 0

Khi đó, ta có hệ

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Thay (2) vào (1), ta được x02 - (x02 - 8x0 + 15)x0 + 2 = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp áncho ta 3 giá trị của m cần tìm

Bài 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2(x1 + x2) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m+1)2 - (m2 + 2) = 2m - 1

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2.    (*)

Theo định lý Viet, ta có Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Khi đó 1

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2

Bài 6: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp áncó giá trị nguyên

Hướng dẫn:

Ta có Δ = (2m + 1)2 - 4(m2 + 1) = 4m - 3

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4

Theo định lý Viet, ta có Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Khi đó

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 10 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 10 và Hình học 10.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp