Phương sai là gì lớp 10 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương sai là gì lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương sai là gì.

Phương sai là gì lớp 10 (chi tiết nhất)

1. Phương sai

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, ..., x_n.

Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

$S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right],$

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\mathrm{...}+x_n^2\right)-{\overline{x}}^2.$

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là ${\widehat{s}}^2,$ được tính bởi công thức:

${\widehat{s}}^2=\frac{1}{n-1}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right].$

Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Giá trị	x1	x2	...	xk
Tần số	n1	n2	...	nk

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left[n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+n_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2\right].$

trong đó n = n₁ + n₂ + ... + n_k; $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left(n_1{x}_1^2+n_2{x}_2^2+\mathrm{...}+n_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2.$

Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số tương đối:

Giá trị	x1	x2	...	xk
Tần số	f1	f2	...	fk

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

$s^2=f_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+f_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+f_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2.$

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

Ý nghĩa của phương sai:

⦁ Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

⦁ Phương sai được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

2. Ví dụ minh họa về phương sai

Ví dụ 1. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường:

43      45      46      41      40.

Tìm phương sai cho mẫu số liệu này.

Hướng dẫn giải

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline{x}=\frac{43+45+46+41+40}{5}=43.$

Ta có bảng sau:

Giá trị	Độ lệch	Bình phương độ lệch
43	43 – 43 = 0	0
45	45 – 43 = 2	4
46	46 – 43 = 3	9
41	41 – 43 = –2	4
40	40 – 43 = –3	9
Tổng		26

Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên n = 5. Do đó phương sai là: $s^2=\frac{26}{5}=5,2.$

Ví dụ 2. Hai cung thủ A và B đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:

Cung thủ A	8	9	10	7	6	10	6	7	9	8
Cung thủ B	10	6	8	7	9	9	8	7	8	8

a) Hãy tính phương sai của mỗi mẫu số liệu ghi kết quả các lần bắn của từng cung thủ.

b) Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?

Hướng dẫn giải

a) Số trung bình của kết quả các lần bắn của cung thủ A là:

(8 + 9 + 10 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 9 + 8) : 10 = 8.

Số trung bình của kết quả các lần bắn của cung thủ B là:

(10 + 6 + 8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8) : 10 = 8.

Phương sai mẫu số liệu của cung thủ A là:

 $S_A^2=\frac{1}{10}\left(8^2+9^2+{10}^2+7^2+6^2+{10}^2+6^2+7^2+9^2+8^2\right)-8^2=2.$

Phương sai mẫu số liệu của cung thủ B là:

$S_B^2=\frac{1}{10}\left({10}^2+6^2+8^2+7^2+9^2+9^2+8^2+7^2+8^2+8^2\right)-8^2=1,2.$

b) Khi so sánh bằng phương sai thì kết quả của cung thủ A có độ phân tán cao hơn cung thủ B.

Do đó, cung thủ B bắn ổn định hơn cung thủ A.

Ví dụ 3. Mẫu số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng, bạn Huy lần lượt là:

8        6        7        5        9        (3)

6        7        7        8        7        (4)

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (3) và (4) đều là: $\overline{x}=7.$

a) Tính phương sai $s_D^2,s_H^2$ lần lượt của hai mẫu số liệu (3) và (4).

b) So sánh $s_D^2$ và $s_H^2.$ Từ đó cho biết bạn nào có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $s_D^2=\frac{{\left(8-7\right)}^2+{\left(6-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(5-7\right)}^2+{\left(9-7\right)}^2}{5}=2.$

               $s_H^2=\frac{{\left(6-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(8-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2}{5}=\frac{2}{5}=0,4.$

b) Do $s_H^2=0,4<s_D^2=2$ nên bạn Huy có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn bạn Dũng.

3. Bài tập về phương sai

Bài 1. Biểu đồ đoạn thẳng ở hình vẽ bên dưới biểu diễn giá vàng bán ra trong bảy ngày đầu tiên của tháng 6 năm 2021.

a) Viết mẫu số liệu thống kê giá vàng bán ra nhận được từ biểu đồ ở hình vẽ.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Bài 2. Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hãi mẫu số liệu A, B như sau:

Không tính toán, hãy cho biết mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Bài 3. Trong 5 lần nhảy xa, hai bạn Hùng và Trung có kết quả (đơn vị: mét) lần lượt là

Hùng	2,4	2,6	2,4	2,5	2,6
Trung	2,4	2,5	2,5	2,5	2,6

a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau hay không?

b) Tính phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

Bài 4. Hãy so sánh phương sai của ba mẫu số liệu sau:

Mẫu 1:         0,1;    0,3;   0,5;    0,5;    0,3;    0,7.

Mẫu 2:         1,1;    1,3;    1,5;    1,5;    1,3;    1,7.

Mẫu 3:         1;       3;       5;       5;       3;       7.

Bài 5. Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li 500 m của 5 người là:

55,2   58,8   62,4   54      59,4   (5)

Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li 1 500 m của 5 người đó là:

271,2          261    276    282    270    (6)

Tính phương sai của mẫu (5) và mẫu (6). Từ đó cho biết cự li chạy nào có kết quả đồng đều hơn.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

• Đồ thị hàm số là gì

• Hàm số bậc hai là gì

• Tam thức bậc hai là gì

• Định lí dấu của tam thức bậc hai

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---