Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay

Bài viết Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau:

+ Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→. v→ = 0

⇒ (u→ ; v→) = 90°

+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm của AB

⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.

Suy ra

Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P

Do đó

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác không phải hình thang

Hướng dẫn giải

Ta có

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)

⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hướng dẫn giải

Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A

⇒ MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC'

Ta có

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A'C' ⊥ BD

B. BB' ⊥ BD

C. A'B ⊥ DC'

D. BC' ⊥ A'D

Hướng dẫn giải

Chọn B

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi

A đúng vì:

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng

B. Sai từ bước 1

C. Sai từ bước 1

D. Sai bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC. Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

A. (AB, CD) = 60°

B. (AB, CD) = 30°

C. (AB, CD) = 45°

D. (AB, CD) = 90°

Lời giải:

+ Ta chứng minh MN vuông góc với RQ :

Ta có MC = MD = (a√3)/2 nên tam giác MCD cân tại M, do đó MN ⊥ CD

Lại có RP // CD ⇒ MN ⊥ RQ

+ Tương tự ta có QP ⊥ AD

+ Trong tam giác vuông PDQ ta có :

Chọn D

Câu 2: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Lời giải:

Chọn B

+ xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên

MN // AB và MN = (1/2)AB   (1)

+ Tương tự có: PQ // AB và PQ = 1/2 AB   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MNPQ là hình bhình hành.

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x (0 ≤ x ≤ a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AC' ⊥ B'D'

B. AC’ cắt B’D’

C. AC’ và B’D’ đồng phẳng

D. Cả A, B, C đều đúng

b) khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. AC' ⊥ MN

B. AC’ và MN cắt nhau

C. AC’ và MN đồng phẳng

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Lời giải:

Chọn A

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta có:

Mà:

Từ (1), (2) ⇒ MENF là hình chữ nhật.

Từ đó ta có:

Chọn D

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

Lời giải:

Chọn B

Kẻ NP // AC, nối MP

Do NP là đường trung bình tam giác ABC

⇒ PN = (1/2).AC = a/2

Do MP là đường trung bình tam giác ABD

⇒ PM = (1/2).BD = 3a/2

Lại có (AC, BD) = (PN, PM) = ∠MPN = 90°

⇒ Tam giác MNP vuông tại P.

Vậy

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30°                  B. 45°                  C. 60°                  D. 90°

Lời giải:

Chọn D

Tam giác ABC có IJ là đường trung bình nên IJ // AB và IJ = 1/2 AB (1)

Tam giác ABD có EF là đường trung bình nên EF // AB và EF = 1/2 AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác mà AB = CD nên IJ = JE

Do đó IJEF là hình thoi

Suy ra (IE ; JF) = 90°

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B, AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC.

B. AH ⊥ BC.

C. AH ⊥ AC.

D. AH ⊥ SC.

Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A'H vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) AA ⊥ BC và AA' ⊥ B'C'.

b) Gọi MM' là giao tuyến của mặt phẳng (AHA') với mặt bên BCC'B', trong đó M ∈ BC và M' ∈ B'C'. Chứng minh rằng tứ giác BCC'B là hình chữ nhật và MM' là đường cao của hình chữ nhật đó.

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng MN ⊥ BD.

Bài 5. Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = $\frac{AB}{2}$.

a) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, chứng minh CI ⊥ AB và DI ⊥ SC.

b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

---