Các dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc chọn lọc, có lời giải

---

---

Phần Hai đường thằng vuông góc Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Hai đường thằng vuông góc hay nhất tương ứng.

Các dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc chọn lọc, có lời giải

• Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông góc Xem chi tiết
• Xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng Xem chi tiết
• Tính tích vô hướng của hai vectơ Xem chi tiết
• Hai đường thẳng vuông góc trong không gian Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d₁; d₂ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d₁, d₂ lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d₁ và d₂. Góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ chính là góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u₁, u₂ của hai đường thẳng d₁, d₂

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi cos(d₁, d₂) =

Lưu ý 2: Để tính u₁→, u₂→, |u₁→|, |u₂→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u₁→, u₂→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→

A. 45°                        B. 90°                        C. 120°                        D.60°

Hướng dẫn giải:

Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?

A. 90°               B. 60°               C. 45°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

(do ABCD là hình vuông)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45°               B. 90°               C. 60°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.

Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'

Chọn B

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°

B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°

C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°

D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°.

Khẳng định B sai. Chọn B.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ

A. Phương pháp giải

Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→. v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→. v→ = 0→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB; DM) bằng :

Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.

Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ?

A. 60°               B. 45°               C . 120°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→ ?

A. 120°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Xét:

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau:

+ Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→. v→ = 0

⇒ (u→ ; v→) = 90°

+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm của AB

⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.

Suy ra

Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P

Do đó

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác không phải hình thang

Hướng dẫn giải

Ta có

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)

⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hướng dẫn giải

Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A

⇒ MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC'

Ta có

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A'C' ⊥ BD

B. BB' ⊥ BD

C. A'B ⊥ DC'

D. BC' ⊥ A'D

Hướng dẫn giải

Chọn B

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi

A đúng vì:

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng

B. Sai từ bước 1

C. Sai từ bước 1

D. Sai bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm những hình ảnh trong thực tế trong lớp học minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC và SBC cân có chung đáy BC. Chứng minh rằng  hai đường thẳng SA và BC vuông góc.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD.  Chứng mình IE ⊥ JF.

Bài 4. Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của của điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD ⊥ CA.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$. Chứng minh SC ⊥ AB.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Chủ đề: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Chủ đề: Hai mặt phẳng vuông góc
• Chủ đề: Khoảng cách

---

---

---