Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) (hay, chi tiết)

Bài viết Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu).

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

Hướng dẫn giải

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

- Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC)

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng :

A. 2a                 B. a√3                  C. a                 D. a√5

Hướng dẫn giải

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC)

Chọn đáp án C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn D

Kẻ AH ⊥ SB

Ta có:

Lại có: AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC)

⇒ d(A; (SBC)) = AH

Trong tam giác vuông SAB ta có:

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn C

Kẻ AH ⊥ SD

Ta có: nên CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH     (1)

Lại có; AH vuông góc SD (2)

Từ (1); (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) và d(A, (SCD)) = AH

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:

Hướng dẫn giải

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)

Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

nên suy ra d(O; (SBC)) = OH.

Ta có: OM = (1/3).AM = (a√3)/3

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng:

Lời giải:

Chọn B

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

⇒ OB = OC = OD (do tam giác BCD là tam giác đều)

Lại có: AB = AC = AD = a

⇒ AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

⇒ AO ⊥ (BCD)

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:

Lời giải:

Chọn C

+ Trong mặt phẳng ( ABCD), kẻ OK ⊥ BC (K ∈ BC)

+ Mà BC ⊥ SO nên suy ra hai mặt phẳng (SOK) và (SBC) vuông góc nhau theo giao tuyến SK.

+ Trong mặt phẳng (SOK), kẻ OH ⊥ SK (H ∈ SK)

Suy ra: OH ⊥ (SBC) ⇒ d(O, (SBC)) = OH

+ Xét mp(ABCD) có:

+ xét tam giác SOK vuông tại O ta có:

Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Khoảng cách từ D đến (ABC) bằng

A. 3√3 cm              B. 6√3 cm              C. 6 cm              D. 6√2 cm

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm AB.

Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM ⊥ AB; DM ⊥ AB suy ra: AB ⊥ (CDM)

+ Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60° nên ∠CMD = 60°

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM

⇒ DH = d(D, (ABC))

Xét tam giác DHM có:

DH = DM.Sin 60° = 6√3

Chọn đáp án B

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ A đến (B’CD’) bằng

Lời giải:

Ta có: AB’ = AC = AD’ = B’D’ = B’C = CD’ = a√2

⇒ Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều.

Gọi I là trung điểm B’C và G là trọng tâm tam giác B’CD’.

Ta có : AC = AD’ = AB’ và GB’ = GC = GD’

nên AG ⊥ (B'CD')

Khi đó ta có: d(A , (B’CD’)) = AG

Vì tam giác B’CD’ đều cạnh a√2 nên

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Trong tam giác vuông AGD’ có:

Chọn C

Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC) .

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) , vì mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC) nên H ∈ BC

Dựng HI ⊥ AB, HJ ⊥ AC, theo đề bài ta có ∠SIH = ∠SJH = 45°.

Do đó: ΔSHI = ΔSHJ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra : HI = HJ

Lại có ∠B = ∠C = 45° ⇒ ΔBIH = ΔCJH ⇒ HB = HC

Vậy H trùng với trung điểm của BC

Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên HI = AC/2 = a/2

Tam giác SHI vuông tại H và có ∠SIH = 45° ⇒ ΔSHI vuông cân.

Do đó: SH = HI = a/2

Chọn đáp án A

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d, với d < b√3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC.

Do S.ABC là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABC) ⇒ d(S, (ABC)) = SH

Chọn C

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A₁B₁C₁D₁ cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A₁ đến mặt phẳng (C₁D₁M) bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi N là trung điểm cạnh DD₁ và

Ta có: ΔA₁ND₁ = ΔD₁MD    (c.g.c)

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 4a              B. 3a              C. a              D. 2a

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC)

Tam giác SAG vuông tại G có:

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a√2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:

Lời giải:

Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD

Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

Kẻ OH ⊥ SM, ta có:

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc ∠BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Vì hình thoi ABCD có ∠BAD bằng 120° nên ∠ABC = 60°

⇒ tam giác ABC đều cạnh a.

Kẻ đường cao AM của tam giác ABC ⇒ AM = a√3/2

Kẻ OI ⊥ BC tại I ⇒ OI = AM/2 = a√3/4 .

Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC)

⇒ d(O; (SBC)) = OH

Xét tam giác vuông SOI ta có:

Chọn D

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, ∠ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo a bằng

Lời giải:

Xác định khoảng cách:

- Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ∠ABC = 120° nên ∠ABD = 60° và tam giác ABD đều cạnh a

Ta có: AC = a√3, AG = a√3/3

Tam giác SAC vuông ở S, có đường cao SG nên

Xét hình chóp S. ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA = SB = SD = a.

- Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD): Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi.

AH = a√6/3

Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a. Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy AH = SG = a√6/3

Chọn đáp án D

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM)?

Lời giải:

+ Ta có: nên BC ⊥ (SAB)

Khi đó; SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30° nên ∠CSB = 30°

+ Xác định khoảng cách: d(A; (SBC)) = AH

Tính AH:

Chọn đáp án B

Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 2√3.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng

Lời giải:

+ SC có hình chiếu vuông góc lên mp(ABCD) là HC ⇒ (SC, (ABCD)) = ∠SCH = 30°

Đặt AD = 4x (x > 0)

Xét tam giác SAD vuông tại S ta có:

Chọn D

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) là

Lời giải:

Chọn A

+ Do góc giữa SA và mp(ABC) là 60° nên ∠SAH = 60°

+ Ta có; CI = CA.sin60° = (a√3)/2; AI = AB/2 = a/2

Trong tam giác ACI có trung tuyến AH suy ra

Trong tam giác SHA vuông tại H và ∠SAH = 60° suy ra SH = AH √3 = a√21/4

Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SE. Khi đó d(H; (SAC)) = HF

Ta có:

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết SA ⊥ (ABC) và AB = 2a; AC = 3a; SA = 4a. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA vuông góc (ABC), AB = 2a, $\widehat{ABC}=120°$. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 3. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABC là tam giác vuông đỉnh B có AB = a. Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD)?

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho MC = 2MS. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAB) bằng?

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2AB = 2BC, CD = $2a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh CD. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng?

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với BC = $a\sqrt{2}$, $\widehat{ABC}=60°$. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng?

Bài 10. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Biết SC = $2a\sqrt{2}$ và tạo với đáy một góc 45°. Khoảng cách từ trung điểm của SD đến mặt phẳng (SAC) bằng bao nhiêu?

Bài 11. Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’. Tính khoảng các giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = a. Tính:

a) Khoảng cách từ điểm S đến mp(A1CD) trong đó A1 là trung điểm của SA;

b) Khoảng cách giữa AC và SD.

Bài 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$

a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD).

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD).

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.

e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD), cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α. Tính:

a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD;

b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng (SCD);

c) Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC.

Bài 15. Cho hình chóp tứ giác đều .SABCD có đáy bằng 2a , SA tạo với đáy một góc 30°. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD.

---