Nghiệm của bất phương trình logarit lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Nghiệm của bất phương trình logarit lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nghiệm của bất phương trình logarit.

Nghiệm của bất phương trình logarit lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Nghiệm của bất phương trình logarit

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_ax > b (hoặc log_ax ≤ b, log_ax < b, log_ax ≥ b) với 0 < a ≠ 1.

Xét bất phương trình dạng log_ax > b:

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > a^b.

Với 0 < a <1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a^b.

Chú ý: Các bất phương trình logarit cơ bản còn lại giải tương tự.

Nếu a > 1 thì log_a u > log_a v ⇔ u > v > 0.

Nếu 0 < a < 1 thì log_a u > log_a v ⇔ 0 < u < v.

2. Ví dụ minh họa về nghiệm của bất phương trình logarit

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình:

a) log₃ (x + 1) ≤ 1.

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)<2$.

c) ${\log }_{\sqrt{3}}\left(4x+6\right)\ge 4$.

d) log₂ (x + 3) > 4.

Hướng dẫn giải

a) log₃ (x + 1) ≤ 1 ⇔ 0 < x + 1 ≤ 3¹ ⇔ –1 < x ≤ 2.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–1; 2].

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)<2$⇔ x – 1 > ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ ⇔ x > $\frac{5}{4}$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left(\frac{5}{4};+\infty \right)$.

c) ${\log }_{\sqrt{3}}\left(4x+6\right)\ge 4$ ⇔ 4x + 6 ≥ ${\left(\sqrt{3}\right)}^4$ ⇔ 4x ≥ –3 ⇔ x ≥ $\frac{-3}{4}$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left(\frac{-3}{4};+\infty \right)$.

d) log₂ (x + 3) > 4 ⇔ x + 3 > 2⁴ ⇔ x > 13.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (13; +∞).

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình:

a) log_0,7 (2x + 1) ≤ log_0,7 (x – 1).

b) ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(2-x\right)>{\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x-1\right)$.

c) ln (x + 5) – ln (2x – 6) ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 1.

log_0,7 (2x + 1) ≤ log_0,7 (x – 1) ⇔ 2x + 1 ≥ x – 1 ⇔ x ≥ –2.

Kết hợp với điều kiện ta có: x > 1.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (1; + ∞).

b) Điều kiện: $\frac{1}{2}<x<2$.

${\log }_{\frac{1}{3}}\left(2-x\right)>{\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x-1\right)$ ⇔ 2 – x < 2x – 1 ⇔ x > 1.

Kết hợp với điều kiện ta có: 1 < x < 2.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (1; 2).

c) Điều kiện: x > 3.

ln (x + 5) – ln (2x – 6) ≥ 0 ⇔ ln(x + 5) ≥ ln (2x – 6) ⇔ x + 5 ≥ 2x – 6 ⇔ x ≤ 11

Kết hợp với điều kiện ta có: 3 < x ≤ 11.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (3; 11].

Ví dụ 3. Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$. Khi ở độ cao trên 15 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?

Hướng dẫn giải

Vì $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$ nên $h=-7\ln \left(\frac{p}{100}\right)$.

Khi ở độ cao trên 15 km thì:

$-7\ln \left(\frac{p}{100}\right)>15$ ⇔ $ln\left(\frac{p}{100}\right)<\frac{-15}{7}$ ⇔ $0<\frac{p}{100}<e^{\frac{-15}{7}}$ ⇔ $0<p<100e^{\frac{-15}{7}}$.

Vậy khi ở độ cao trên 15 km thì áp suất khí quyển là số dương nhỏ hơn $100e^{\frac{-15}{7}}$.

3. Bài tập về nghiệm của bất phương trình logarit

Bài 1. Giải các bất phương trình:

a) log₄ (2x + 3) ≤ 3.

b) ${\log }_{\frac{\sqrt{3}}{4}}\left(4x-3\right)<4$.

c) ${\log }_{3^{-2}}\left(x-12\right)\ge 6$.

d) log_0,9 (4x + 7) > 3.

Bài 2. Giải các bất phương trình:

a) log (4x + 3) ≤ log (3x – 2).

b) ln (x + 9) > ln (2x + 3).

c) $-{\log }_{\frac{1}{3}}\left(x^2+5x+4\right)-{\log }_3\left(x+4\right)>\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{3}}\left(2x+6\right)$.

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{{\log }_{3}x-1}$.

b) $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_2{x}^2-{\log }_{2}x}}$.

c) y = ln (1 – ln (x + 1)).

Bài 4. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng danh sách các loài thực vật và kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức N(t) = 75 – 20ln (t + 1), t ≥ 0 (đơn vị %). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì nhóm học sinh đó nhớ được dưới 30% danh sách các loài thực vật đó?

Bài 5. Mức cường độ âm (đo bằng dB) được tính bởi công thức $L=10\log \frac{I}{I_0}$, trong đó I là cường độ âm tính theo W/m² và I₀=10^-12 W/m². Âm thanh của một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đổi từ 75 dB đến 90 dB. Hỏi cường độ âm thay đổi trong đoạn nào?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Nghiệm của bất phương trình mũ

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì

• Phép chiếu vuông góc là gì

• Hai mặt phẳng vuông góc là gì

• Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

• Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

---