Tính giá trị biểu thức liên quan đến giá trị lượng giác lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính giá trị biểu thức lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính giá trị biểu thức lượng giác.

Tính giá trị biểu thức liên quan đến giá trị lượng giác lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

* Phương pháp:Để tínhTính giá trị biểu thức liên quan đến giá trị lượng giác ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác không đặc biệt hoặc biến đổi biểu thức lượng giác về dạng chỉ xuất hiện giá trị đã cho của giả thiết để tính.

* Các công thức thường sử dụng:

* Các hệ thức lượng giác cơ bản:

√ sin² α + cos² α = 1; 

√ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$(α≠π2+kπ, k ∈ℤ);

√ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$(α ≠ kπ , k ∈ ℤ);

√ tanα⋅cotα=1($\alpha \ne \frac{k\pi }{2}$, k ∈ ℤ).

√ Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt:

√ Góc đối nhau (α và – α): cos (– α) = cos α; sin (– α) = – sin α;

                                          tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

√ Góc bù nhau (α và π – α): sin (π – α) = sin α; cos (π – α) = – cos α;

                                           tan (π – α)  = – tan α; cot (π – α)  = – cot α.

√ Góc phụ nhau (α và π2 – α): sin $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cos α; cos $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = sin α;

                                               tan $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cot α; cot $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = tan α.

Góc hơn kém nhau π (α và π + α): sin (π + α) = –sin α; cos (π + α) = –cos α;

                                                         tan (π + α)  = tan α; cot (π + α) = cot α.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính:

a) A = 2cos2x +3sin3x với x = 45°.

b) B = tan 10°tan 20°... tan 80°.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 45° vào biểu thức A ta có:

A = 2cos(2.45°) + 3sin(3.45°) =2cos90° + 3sin(135°)

$=2.0+3.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.$

b) Ta có:tan (90° – x) = cot x; tan x.cot x = 1.

Suy ra tan x. tan (90° – x) = 1.

Ta có: B = tan10°tan20°... tan80°

= (tan 10°tan 80°).(tan 20°tan 70°).(tan 30°tan 60°).(tan 40°tan 50°)

= (tan 10°cot10°).(tan 20°cot20°).(tan 30°cot30°).(tan 40°cot40°)

= 1.1.1.1

= 1.

Ví dụ 2.

a) Cho cosx = $\frac{1}{3}$với 0° < x < 90°.

Tính giá trị của biểu thức P = 4sinx + cos² x + 1.

b) Cho tanx = 2. Tính giá trị biểu thức A = $\frac{4\sin x+5c\text{os\hspace{0.17em}x}}{2\sin x-3c\text{os\hspace{0.17em}x}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: sin² x + cos² x= 1 ⇒ sin² x = 1 – cos² x.

⇒ sin x = $\pm \sqrt{1-c{\text{os}}^{2}x}$= $=\pm \sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$>.

Vì 0° < x < 90° nên sin x > 0.

Suy ra $\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Vậy $P=4.\frac{2\sqrt{2}}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+1=\frac{10+24\sqrt{2}}{9}.$

b) Ta có tan x = 2 ⇒ cos x ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức A cho cos x ta được:

A =$\frac{4.\tan x+5}{2.\tan x-3}$= $\frac{4.2+5}{2.2-3}$= 13.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho x = 30°. Khi đó giá trị của biểu thức A = sin2x –3cosx là:

A. 3;

B.$\sqrt{3}$;

C. $-\sqrt{3}$;

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 2. Cho α + β = π. Khi đó biểu thức A = sin² (π – β) + cos² (π – α) là:

A. 1;

B. 2;

C. –1;

D. –2.

Bài 3. Cho sin x = $\frac{1}{4}$. Biểu thức A = $\frac{4}{3}$${\sin }^2\alpha$ + $c{\text{os}}^2\alpha$ = $c{\text{os}}^2\alpha$ (với (a, b) = 1). Khi đó giá trị của a – b là:

A. 2;

B. 1;

C. 3;

D. 4.

Bài 4. Cho tan α = $\sqrt{3}$. Biểu thức P = 2sin² α+ cos² αcó giá trị bằng

A. $\frac{4}{5}$;

B. $\frac{5}{4}$;

C. $\frac{7}{4}$;

D. $\frac{7}{3}$.

Bài 5. Cho sin x = $\frac{1}{2}$, biết cos x nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức A = $\frac{s\text{in x}-c\text{os x}}{\sin x+c\text{os x}}$là

A.$-2-\sqrt{3}$;

B. $2+\sqrt{3}$;

C. $-2-\sqrt{3}$;

D.$2-\sqrt{3}$.

Bài 6. Cho sin α = $\frac{2}{3}$biết 90° < α < 180°. Đáp án nào sau đây là đúng?

A. 4sin² α + 2cos² α = 3;

B. 4sin² α + 2cos² α = – 3;

C. 4sinα + 2cosα = $\frac{8-2\sqrt{5}}{3}$;

D. 4sinα + 2cosα = $\frac{8+2\sqrt{5}}{3}$.

Bài 7. Cho tan x = 3. Khi đó giá trị biểu thức A = $\frac{4s\text{in x }+c\text{os x}}{\sin x+2\cos x}$là

A. $\frac{-13}{5}$;

B. 3;

C. $\frac{-4}{5}$;

D. $\frac{13}{5}$.

Bài 8.Cho cot x = 2. Giá trị của biểu thức P = $\frac{3\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}$là

A. $\frac{4}{3}$;

B. $-\frac{4}{3}$;

C. $-\frac{5}{3}$;

D. $\frac{5}{3}$.

Bài 9. Cho cos α =$-\frac{1}{2}$, 90° < α < 180°. Khi đó C = $\frac{2{\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha }{4{\tan }^2\alpha -3{\cot }^2\alpha }$= $\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$là phân số tối giản. Tổng a + b bằng:

A. 52;

B. 35;

C. 34;

D. 51.

Bài 10. Cho tan x = 2. Biểu thức M = $\frac{\sin x-3{\cos }^{3}x}{5{\sin }^{3}x-2c\text{osx}}$= $\frac{a}{b}$(với (a, b) = 1). Giá trị của hiệu b – a là:

A. 9;

B. 8;

C. 7;

D. 23.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác

• Bài toán thực tế về giá trị lượng giác của góc lượng giác

• Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi

• Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

• Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

---