Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm - Toán lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:

y–y0=f' (x0).(x–x0)

A. Phương pháp giải

Cho (C) là đồ thị của hàm số y= f(x) và điểm A( a ; b).Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.

- Gọi ∆ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k.

Khi đó tiếp tuyến ∆ có dạng : y= k(x- a)+ b (*)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho hàm số y=2x4-4x2-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A( 1; -3).

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ta có y'=8x3-8x

Gọi M(x0; 2x04- 4x02-1) là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C).

Tiếp tuyến ∆ tại M có phương trình:

y=(8x03-8x0)(x-x0)+2x04-4x02-1 ( *)

Vì tiếp tuyến ∆ đi qua A( 1; -3)nên ta có

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

+ Với x0 = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y= -3.

+ Với x0= -1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y= -3.

+ Với x0= 1/3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Ví dụ 2. Cho ( C) là đồ thị của hàm số: y= x3+ 3x2 – 6x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) đi qua điểm N( 0; 1) .

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Gọi M( x0; y0 ) là tiếp điểm

Ta có đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x2+6x-6

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

Vì tiếp tuyến đi qua N( 0;1) nên ta có:

1=(3x02+6x0-6)(-x0)+x03+3x02-6x0+1

⇔2x03+3x02=0 ⇔x0=0,x0=-3/2

+ Nếu x0= 0 ⇒ y’(x0)= - 6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y= -6x+ 1.

+ Nếu x0=-3/2 thì y' (x0 )= (- 33)/4; y0= 107/8

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y'=-33/4(x+3/2)+107/8=-33/4 x+1

Chọn C.

Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y=x4+x2+1 biết tiếp tuyến đi qua điểm M( -1; 3).

A. y= -6x - 2       B. y= -6x- 9       C. y= -6x- 3       D. y= - 6x- 4

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y’= 43 + 2x. Gọi M( x0; y0) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y=(4x03+2x0)(x-x0)+x04+x02+1

Vì tiếp tuyến đi qua M( -1; 3) nên ta có:

⇔(x0+1)2 (3x02-2x0+2)=0

⇔x0=-1 ⇒y0=3,y'(x0)=-6

Phương trình tiếp tuyến: y – 3= - 6( x+ 1) hay y= - 6x – 3

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số y=2x+2/x-1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 4; 3)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định với mọi

.

Ta có đạo hàm

Gọi M( x0; y0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Ví dụ 5. Tìm trên (C) : y= 2x3- 3x2 + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.

A. M( 1; 0)       B. M(- 2; - 27)       C. M( -1; - 4)        D. M( 2; 5)

Hướng dẫn giải

Giả sử M(x0;y0)∈(C) ⇔ y0=2x03-3x02+1.

Ta có đạo hàm: y'=6x2-6x.

Phương trình tiếp tuyến ⇔ tại M: y=(6x02-6x0)(x-x0)+2x03-3x02+1.

Gọi giao điểm của tiếp tuyến ∆ và trục tung là P ⇒ P( 0; 8)

⇔ đi qua P( 0; 8) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình∆ ta được

8=-4x03+3x02+1 ⇔ x0=-1.

Vậy M(-1; - 4)

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho hàm số (C): y = (x+2)/(x-2) . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-6;5) của đồ thị (C).

A: y=x+1        B: y=-x-1        C: y=-x+1        D: Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Ví dụ 7.Cho hàm số y=(2x+1)/(x-1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A( -7; 5).

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y=x3-3x2-9x+1có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( -1; 6) .

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Ta có: y'=3(x2-2x-3). Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M là:

y=3(x02-2x0-3).( x- x0 )+ x03-3x02-9x0+1 ( *)

Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình

6=3(x02-2x0-3)(-1-x0)+x03-3x02-9x0+1

⇔x03-3x0-2=0⇔(x0+1)2 (x0-2)=0

⇔x0=-1,x0=2

+ Với x0= -1thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: y= 6

+ Với x0= 2 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là y= -9x - 3

Chọn D.

Câu 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị (C) của hàm số y = (3x+4)/(x-1) là

A. y= -28x+ 59; y= x+ 1.        B. y= -24x + 51; y= x+ 1.

C. y= -28x + 59.        D. y= -28 x+ 59; y= -24 x+ 51

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Câu 3: Cho hàm số y= (x2+x+1)/(x+1) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm

A( -1;0) là:

A. y= 3/4 x       B. y= 3/4 ( x+1)       C. y= 3( x+ 1)       D. y= 3x+1

Gọi d là phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k.

Vì A( -1;0) ∈d suy ra đường thẳng d có dạng: y= k( x+ 1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Thay (2) vào (1) ta được x= 1 ⇒ k= y' (1)= 3/4.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( -1; 0) là: y= 3/4( x+1)

Chọn B.

Câu 4: Qua điểm A( 0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số

y= x4- 2x2+ 2

A. 2       B. 3       C.0       D. 1

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.

Đường thẳng d đi qua A(0; 2) và có hệ số góc k nên phương trình của d có dạng: y= kx+ 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của (C): y= x3 biết nó đi qua điểm M( 2; 0) là:

A. y= 27 x+ 54 và y= 27x- 54.       B. y= 27 x- 9 và y= 27 x - 2.

C. y= 27 x+ 27 và y= 27 x- 27.       D. y= 0 và y= 27x - 54.

+ Đạo hàm y’= 3x2

+ Gọi A( x0 ; y0) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

+ Với x0= 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y= 0.

+ Với x0 = 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y= 27x- 54.

Chọn D

Câu 6: Cho hàm số f(x) =x2/4-x+1 , có đồ thị (C). Từ điểm M( 2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y= -x+ 1và y= x+ 3.        B. y= 2x- 5 và y= -2x + 3.

C. y= -x +1 và y = x - 3.        D.y= x+ 1và y= -x- 3.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm | Toán lớp 11

Câu 7: Cho đồ thị (C) của hàm số y= x2+ 2x+ 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết đường thẳng d đi qua điểm A( 1 ; 6).

A. y= 2x- 3        B. y= 3x+ 3        C.y= 4x+ 2        D. y= -x+ 7

+ Đạo hàm : y’= 2x+ 2

+ Gọi M(x0;x02+2x0+3) là điểm thuộc đồ thị (C)

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại M là :

y=( 2x0+2)(x- x0 )+ x02+2x0+3 ( *)

+ Do tiếp tuyến d đi qua điểm A( 1 ; 6) nên ta có :

6= ( 2x0+2)(1- x0 )+ x02+2x0+3

⇔ 2x0-2x02+2-2x0+ x02+2x0+3=6

⇔ -x02+2x0-1= 0 ⇔ x0= 1

Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm là ;

y= 4x+ 2

chọn C.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.