Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài viết Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước.

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x₀; f(x₀) ).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:

y–y₀=f' (x₀).(x–x₀)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y=x³-(2m+1)x²+(m+3)x-3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 7/√17 .

A. 1        B. 2         C. 0        D.3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc i .

Ta có đạo hàm: y'=3x² -2(2m+1)x+m+3

⇒ y( 2) = - 6m+ 7 và y’( 2) = -7m+ 11

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm có hoành độ x= 2 là:

y'=y'(2)(x-2)+y(2)

⇔ y= ( 11 – 7m)( x- 2)+ 7- 6m = ( 11- 7m)x+ 8m- 15

⇔ ( 11- 7m)x –y + 8m- 15=0

Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là:

.Ví dụ 2. Cho hàm số y=3-x/x+2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A( -1; -2) và B( 1; 0)

A. y= - 3x+ 1        B. y= -5x- 1        C. y= 5x+ 3        D. y= -2x+ 1

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Cho đồ thị (C) của hàm số: y=2x+3/x+1 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x+ 4y – 2= 0 bằng 2?

A. 1        B. 2        C. 3        D.4

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ví dụ 4.Cho hàm số y= x³- 3x²+ 1 có đồ thị là ( C). Tìm trên đồ thị hai điểm A; B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua hai điểm A; B bằng /√10/5 .

A. ( 1;2) và ( -2; -3)        B. ( -2; 4) và ( - 5; 2)

C. ( -1; 0) và ( 7; 2)        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi A("x"₁ ;"y"₁ =x₁³-3x₁²+1), B("x" ₂ ;"y" ₂ =x₂³-3x₂²+1)là 2 điểm cần tìm với x₁khác x₂

Ta có đạo hàm: "y' "=" 3x" ² -"6x"

Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt là

"k"₁ =" 3" x₁²-"6x" ₁ ,"k"₂=" 3" x₂²-"6x" ₂

Tiếp tuyến của tại A và B song song với nhau nên

"k"₁ ="k"₂⇔" 3" x₁²-"6x" ₁ =" 3" x₂²-"6x" ₂

Ví dụ 5.Cho hàm số y=(2x+1)/(x-1) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ví dụ 6. Cho hàm số y=2x+m+1/x-1 (C) . Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x₀= 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn?

A. 1        B. 2        C. 3        D. 4

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (c):y=2x+1/x+1 biết d cách đều 2 điểm A(2; 4) và B( -4; -2) .

Hướng dẫn giải

Gọi M(x₀;y(x₀)) , là tọa độ tiếp điểm của d và ( C)

Ví dụ 8.Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y=-x⁴+2mx²-2m+1 tại A(1; 0) và B( -1;0) hợp với nhau một góc M sao cho M=15/17 .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ví dụ 9 :Cho hàm số y=(x-1)/(2(x+1)) có đồ thị là (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 10. Cho hàm số y=(x+3)/(x-1), có đồ thị là (C). Hỏi có bao nhiêu điểm M trên đường thẳng d: y= 2x+1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

A. 1       B. 2        C. 3       D. 4

Hướng dẫn giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đồ thị (C) của hàm số: y=2x/(x-1). Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng (d'):4x+3y+2012=0 góc 45 độ

A. 0       B . 1       C. 2       D.3

Lời giải:

Câu 2: Cho đồ thị (C) của hàm số: y=2x/(x-1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rẳng tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục hoành một góc ampha sao cho ampha=-2/√5

A. y=1/2 x+3/4       B. y=(-1)/2 x+9/2       C. y=(-1)/2 x-1/4       D. Đáp án khác

Lời giải:

Chọn D

Câu 3: Cho hàm số x⁴/4+x² /2+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng .9/4√5

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y=y'(x₀)(x-x₀++y(x₀)

(trong đó là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)).

Phương trình (d):

Câu 4: Cho hàm số y=(ax+b)/(x-2), có đồ thị là . Tìm biết tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox có phương trình là y=-1/2 x+2

A. a= -1; b= 1       B. a= -1; b= 2       C. a= -1; b= 3       D. a= -1; b= 4

Lời giải:

Giao điểm của tiếp tuyến : y=-1/2 x+2 với trục Ox là A(4;0)

Câu 5: Tìm m để đồ thị hàm số (C): y=(x²+2mx+2m²-1)/x-1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau.

Lời giải:

Câu 6: Cho hàm số y=x³-3x²+1"  "(C). Tồn tại hai điểm A; B trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A;B song song với nhau và AB=4√2. Tọa độ một trong hai điểm là

A: ( 12; - 54)        B: ( 5; 51)        C: (-3; 53)        D: (2; -18)

Lời giải:

Câu 7: Cho hàm số 2x-1/x-1 Số điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M cắt trục Ox; Oy lần lượt tại A; B sao cho AB=√28 .OB

A : không tồn tại        B : 1        C : 2        D : 3

Lời giải:

Câu 8: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y=x³-mx+m-1 tại điểm M có hoành độ x= -1 cắt đường tròn (C) có phương trình ( x- 2)²+ ( y- 3)²= 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

A. m= 2        B. m= 6        C. m= 8       D.m= -2

Lời giải:

Ta có: y'=3x²-m⇔ y’( 1)= 3-m và y(-1) = 2m- 2.

Đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và R = 2.

Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng d tại M(-1; 2m- 2)

y=(3-m)( x+1)+2m-2 hay y= ( 3- m) x+ m+ 1

⇔ (3-m)x-y+m+1=0

Dấu "=" xảy ra ⇔ m= 2.

Dó đó d( I; d) đạt lớn nhất khi m= 2.

Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất ⇔ d( I; d) lớn nhất ⇔ m= 2

suy ra d: y= x+ 3.

Chọn A.

Câu 9: Cho hàm số y=x⁴/4+x²/2+2có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng 9/4√5

.

Lời giải:

Câu 10: Cho hàm số y=-x³+3x+2 có đồ thị là (C). Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Lời giải:

Câu 11: Cho hàm số y=x⁴-2x²-1 có đồ thị là (C). Tìm M thuộc trục tung sao cho từ M vẽ đến (C) đúng ba tiếp tuyến.

A. M( 0; - 2)        B. M( 0; -1)        C. M(0; - 5)       D. M(0; 9)

Lời giải:

Ta có y'=4x³-4x

Gọi . Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình

Δ:y=(4x₀³-4x₀)(x-x₀)+y₀

Vì (C) nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu d là một tiếp tuyến của (C) thì đường thẳng d’ đối xứng với d qua Oy cũng là tiếp tuyến của (C).

Do đó, để từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến (C) thì trong ba tiếp tuyến đó phải có một tiếp tuyến vuông góc với Oy.

Mà (C) có hai tiếp tuyến cùng phương với Ox là: y= -2 và y= - 1. Đường thẳng này cắt Oy tại M₁ (0;-2),M₂ (0;-1).

Ta kiểm tra được qua M₁ chỉ vẽ đến (C) được một tiếp tuyến, còn từ M2 vẽ đến (C) được ba tiếp tuyến.

Vậy M(0; -1) là điểm cần tìm.

Chọn B.

---