Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:

y–y0=f' (x0).(x–x0)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y=x3-(2m+1)x2+(m+3)x-3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 7/√17 .

A. 1        B. 2         C. 0        D.3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc i .

Ta có đạo hàm: y'=3x2 -2(2m+1)x+m+3

⇒ y( 2) = - 6m+ 7 và y’( 2) = -7m+ 11

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm có hoành độ x= 2 là:

y'=y'(2)(x-2)+y(2)

⇔ y= ( 11 – 7m)( x- 2)+ 7- 6m = ( 11- 7m)x+ 8m- 15

⇔ ( 11- 7m)x –y + 8m- 15=0

Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là:

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

.Ví dụ 2. Cho hàm số y=3-x/x+2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A( -1; -2) và B( 1; 0)

A. y= - 3x+ 1        B. y= -5x- 1        C. y= 5x+ 3        D. y= -2x+ 1

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Ví dụ 3. Cho đồ thị (C) của hàm số: y=2x+3/x+1 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x+ 4y – 2= 0 bằng 2?

A. 1        B. 2        C. 3        D.4

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 4.Cho hàm số y= x3- 3x2+ 1 có đồ thị là ( C). Tìm trên đồ thị hai điểm A; B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua hai điểm A; B bằng /√10/5 .

A. ( 1;2) và ( -2; -3)        B. ( -2; 4) và ( - 5; 2)

C. ( -1; 0) và ( 7; 2)        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi A("x"1 ;"y"1 =x13-3x12+1), B("x" 2 ;"y" 2 =x23-3x22+1)là 2 điểm cần tìm với x1khác x2

Ta có đạo hàm: "y' "=" 3x" 2 -"6x"

Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt là

"k"1 =" 3" x12-"6x" 1 ,"k"2=" 3" x22-"6x" 2

Tiếp tuyến của tại A và B song song với nhau nên

"k"1 ="k"2⇔" 3" x12-"6x" 1 =" 3" x22-"6x" 2

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Ví dụ 5.Cho hàm số y=(2x+1)/(x-1) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 6. Cho hàm số y=2x+m+1/x-1 (C) . Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0= 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn?

A. 1        B. 2        C. 3        D. 4

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Ví dụ 7. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (c):y=2x+1/x+1 biết d cách đều 2 điểm A(2; 4) và B( -4; -2) .

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Gọi M(x0;y(x0)) , là tọa độ tiếp điểm của d và ( C)

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Ví dụ 8.Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y=-x4+2mx2-2m+1 tại A(1; 0) và B( -1;0) hợp với nhau một góc M sao cho M=15/17 .

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 9 :Cho hàm số y=(x-1)/(2(x+1)) có đồ thị là (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Ví dụ 10. Cho hàm số y=(x+3)/(x-1), có đồ thị là (C). Hỏi có bao nhiêu điểm M trên đường thẳng d: y= 2x+1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

A. 1       B. 2        C. 3       D. 4

Hướng dẫn giải

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đồ thị (C) của hàm số: y=2x/(x-1). Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng (d'):4x+3y+2012=0 góc 45 độ

A. 0       B . 1       C. 2       D.3

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 2: Cho đồ thị (C) của hàm số: y=2x/(x-1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rẳng tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục hoành một góc ampha sao cho ampha=-2/√5

A. y=1/2 x+3/4       B. y=(-1)/2 x+9/2       C. y=(-1)/2 x-1/4       D. Đáp án khác

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Chọn D

Câu 3: Cho hàm số x4/4+x2 /2+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng .9/4√5

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y=y'(x0)(x-x0++y(x0)

(trong đó là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)).

Phương trình (d):

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 4: Cho hàm số y=(ax+b)/(x-2), có đồ thị là . Tìm biết tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox có phương trình là y=-1/2 x+2

A. a= -1; b= 1       B. a= -1; b= 2       C. a= -1; b= 3       D. a= -1; b= 4

Giao điểm của tiếp tuyến : y=-1/2 x+2 với trục Ox là A(4;0)

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 5: Tìm m để đồ thị hàm số (C): y=(x2+2mx+2m2-1)/x-1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau.

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 6: Cho hàm số y=x3-3x2+1"  "(C). Tồn tại hai điểm A; B trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A;B song song với nhau và AB=4√2. Tọa độ một trong hai điểm là

A: ( 12; - 54)        B: ( 5; 51)        C: (-3; 53)        D: (2; -18)

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 7: Cho hàm số 2x-1/x-1 Số điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M cắt trục Ox; Oy lần lượt tại A; B sao cho AB=√28 .OB

A : không tồn tại        B : 1        C : 2        D : 3

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 8: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y=x3-mx+m-1 tại điểm M có hoành độ x= -1 cắt đường tròn (C) có phương trình ( x- 2)2+ ( y- 3)2= 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

A. m= 2        B. m= 6        C. m= 8       D.m= -2

Ta có: y'=3x2-m⇔ y’( 1)= 3-m và y(-1) = 2m- 2.

Đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và R = 2.

Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng d tại M(-1; 2m- 2)

y=(3-m)( x+1)+2m-2 hay y= ( 3- m) x+ m+ 1

⇔ (3-m)x-y+m+1=0

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Dấu "=" xảy ra ⇔ m= 2.

Dó đó d( I; d) đạt lớn nhất khi m= 2.

Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất ⇔ d( I; d) lớn nhất ⇔ m= 2

suy ra d: y= x+ 3.

Chọn A.

Câu 9: Cho hàm số y=x4/4+x2/2+2có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng 9/4√5

.

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 10: Cho hàm số y=-x3+3x+2 có đồ thị là (C). Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước | Toán lớp 11

Câu 11: Cho hàm số y=x4-2x2-1 có đồ thị là (C). Tìm M thuộc trục tung sao cho từ M vẽ đến (C) đúng ba tiếp tuyến.

A. M( 0; - 2)        B. M( 0; -1)        C. M(0; - 5)       D. M(0; 9)

Ta có y'=4x3-4x

Gọi . Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình

Δ:y=(4x03-4x0)(x-x0)+y0

Vì (C) nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu d là một tiếp tuyến của (C) thì đường thẳng d’ đối xứng với d qua Oy cũng là tiếp tuyến của (C).

Do đó, để từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến (C) thì trong ba tiếp tuyến đó phải có một tiếp tuyến vuông góc với Oy.

Mà (C) có hai tiếp tuyến cùng phương với Ox là: y= -2 và y= - 1. Đường thẳng này cắt Oy tại M1 (0;-2),M2 (0;-1).

Ta kiểm tra được qua M1 chỉ vẽ đến (C) được một tiếp tuyến, còn từ M2 vẽ đến (C) được ba tiếp tuyến.

Vậy M(0; -1) là điểm cần tìm.

Chọn B.

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.