150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao - phần 3)

Với 150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng (nâng cao - phần 3) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng (nâng cao - phần 3).

150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao - phần 3)

Bài 81: Cho I = x².ln(x + 1)dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. I = - + ln2    B. I = - + ln2    C. I = + ln2    D. I = - - ln2

Lời giải:

Đặt

I = x².ln(x + 1)dx = ln(x + 1) - dx = ln2 - dx .

Tính dx = dx = (x² - x + 1 - )dx = - ln2

I = x².ln(x + 1)dx = ln2 - ( - ln2) = - + ln2 .

Đáp án: A

Bài 82: Biết = mπ + n.ln2 (m, n ∈ R) , hãy tính giá trị của biểu thức

A. P = 1    B. P = 0,75    C. P = 0,25    D. P = 0

Lời giải:

Đặt , ta có

= (-x.cotx) + cotxdx = (-x.cotx) + ln|sinx| = + .ln2

⇒ m = ; n =

P = 2m + n = 2. + = 1.

Đáp án: B

Bài 83: Tính tích phân I = 2x.ln(3x - 6)dx .

A. I = 12.ln6 + 5.ln3 -    B. I = 12.ln6 - 5.ln3 +

C. I = 12.ln6 + 5.ln3 +    D. I = 12.ln6 - 5.ln3 - .

Lời giải:

I = 2x.ln(3x - 6)dx

Đặt

C = ((x² - 4).ln(3x - 6)) - (x + 2)dx = ((x² - 4).ln(3x - 6) - - 2x)

= 12.ln6 - 5.ln3 -

Đáp án: D

Bài 84: Cho tích phân I = . Đặt t = ta được I = (với m,n ∈ Z ). Tính T = 3m + n

A. T = 7    B. T = 2    C. T = 4    D. T = 5

Lời giải:

Tính I =

Đặt t = , ta được t² = 2x + 3 ⇒

Vậy: m = 2, n = -1 , T = 3.2 - 1 = 5.

Đáp án: D

Bài 85: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 1 và f(x)dx = 2 . Tính tích phân I = f'(√x)dx

A. I = -1    B. I = 1    C. I = 2    D. I = -2

Lời giải:

Xét I = f'(√x)dx Đặt t = √x ⇒ t² = x ⇒ 2tdt = dx

Đổi cận . Khi đó I = 2 tf'(t)dt = 2A .

Tính A = tf'(t)dt . Đặt

Khi đó A = tf(t) - f(t)dt = f(1) - 2 = 1 - 2 = -1 ⇒ I = 2A = -2.

Đáp án: D

Bài 86: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a , f(2017) = b , (a,b ∈ R). Giá trị I = 2015.f'(x).f²⁰¹⁴(x)dx bằng:

A. I = b²⁰¹⁷ - a²⁰¹⁷    B. I = a²⁰¹⁶ - b²⁰¹⁶    C. I = a²⁰¹⁵ - b²⁰¹⁵    D. I = b²⁰¹⁵ - a²⁰¹⁵

Lời giải:

Đặt t = f(x) ⇒ dt = f'(x)dx . Đổi cận:

Khi đó I = 2015t²⁰¹⁴dt = t²⁰¹⁵ = a²⁰¹⁵ - b²⁰¹⁵

Đáp án: C

Bài 87: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có f(x)dx = 3. Tính I = f(|2x|)dx

A. I = 0    B. I =    C. I = 3    D. I = 6

Lời giải:

Ta có I = f(|2x|)dx = f(|2x|)dx + f(|2x|)dx = 2 f(|2x|)dx = 2 f(2x)dx

Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx . Đổi cận:

Khi đó I = f(t)dt = f(x)dx = 3

Đáp án: C

Bài 88: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a] , ta có f(x) > 0 và f(x).f(a - x) = 1 . Tính I =

A.    B. 2a    C.    D. a.ln(a + 1) .

Lời giải:

Từ giả thiết, suy ra f(a - x) =

Đặt t = a - x ⇒ dt = -dx . Đổi cận:

Khi đó

Suy ra 2I = I + I = = dx = a ⇒ I = .

Đáp án: A

Bài 89: Nếu + 6 = 2√X với x > 0 thì hệ số a bằng:

A. 5    B. 9    C. 19    D. 29

Lời giải:

Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn [a;x].

Khi đó ta có

Suy ra F'(t) = = ⇒ f(t) = √t ⇒ = dt = 2√t = 2√x - 2√a

Suy ra 2√x - 2√a = 2√x - 6 ⇔ a = 9.

Đáp án: B

Bài 90: Tính tích phân sau : I =

A. ( - 1)    B.    C. + 3    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đặt J =

Ta xét hệ:

⇒ 2I = - 1 ⇒ I = ( - 1)

Đáp án: A

Bài 91: Tính tích phân sau : J = ln(sinx + )dx

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải:

Đặt x = π - t ta có: J = ln(sint + )dt

J = ln(sint + )dt + ln(sint + )dt (*)

Đặt t = -u ta có: ln(sint + )dt = ln(-sinu + )du

= - ln(sinu + )du = - ln(-sint + )dt

Thay vào (*) suy ra J = 0 .

Đáp án: A

Bài 92: Tính tích phân I = sin²x.cosx.dx .

A. 1    B.    C.    D. 2

Lời giải:

Đặt u = sinx Ta có du = cosx.dx

Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = ⇒ u( ) = 1

Khi đó I = sin²x.cosx.dx = u²du = u³ =

Đáp án: C

Bài 93: Tính tích phân sau : I = ln(1 + √3.tanx)dx

A.    B. -2    C. + 1    D. -1

Lời giải:

Đặt x = - t

Suy ra I = - ln(1 + √3.tan( - t))dt =

= = ln4tdt - ln(1 + √3.tant)dt = .ln4 - I ⇒ I = .

Đáp án: A

Bài 94: Giả sử = a.ln5 + b.ln3; a,b ∈ Q . Tính P = a.b .

A. P = 8 .    B. P = -6 .    C. P = -4 .    D. P = -5 .

Lời giải:

= = (-ln|x + 1| + 2.ln|x + 3|) = 2.ln5 - 3.ln3

Suy ra: a = 2, b = -3 .

Do đó P = ab = -6 .

Đáp án: B

Bài 95: Có bao nhiêu số a ∈ (0;20π) sao cho sin⁵x.sin2xdx =

A. 9    B. 10    C. 19 .    D. 20 .

Lời giải:

Ta có: = sin⁵x.sin2x.dx = 2 sin⁶x.cosx.dx = 2 sin⁶x.d(sinx) = =

⇒ sin⁷a = 1 ⇔ sina = 1 ⇔ a = + k2π, k ∈ Z

Vì a ∈ (0;20π) ⇒ 0 < + k2π < 20π ⇒ - < k < ⇒ k ∈ {0;1;2;3;...;9}.

Vậy có 10 giá trị của k .

Đáp án: B

Bài 96: Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn = ln2 -

A. m = 3    B. m = 1    C. m = 2    D. m > 3 .

Lời giải:

Ta có: = (x - 1 + )dx = ( x² - x + ln|x + 1| )

= - m + ln(m + 1) = ln2 -

thỏa mãn ⇒ m = 1 thõa mãn m ∈ Q

Đáp án: B

Bài 97: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và x.sinx.dx = π đồng thời a.cosa = 0 và b.cosb = -π Tính tích phân I = cosx.dx .

A. I = -π    B. I = π    C. I =    D. I = 0.

Lời giải:

Đặt

⇒ π = -x.cosx + cosxdx = -(-b.cosb - a.cosa) - I = π - I ⇔ I = 0.

Đáp án: D

Bài 98: Có bao nhiêu giá trị thực của a thuộc đoạn [ ;2π] thỏa mãn

A. 2    B. 1    C. 4    D. 3 .

Lời giải:

Đặt t = ⇒ t² = 1 + 3cosx ⇒2tdt = -3sinxdx ⇒ sinx.dx = - tdt

Suy ra :

Nghĩa là có 2 giá trị a thỏa mãn bài toán

Đáp án: A

Bài 99: Tính tích phân I = (|x| - |x - 1|)dx ta được kết quả:

A. -2    B. -1    C. 0    D. 1

Lời giải:

I = (|x| - |x - 1|)dx = |x|dx - |x - 1|dx

= - xdx = xdx + (x - 1)dx - (x - 1)dx

= = 0 .

Đáp án: C

Bài 100: Tính tích phân I = |3^x + x - 4|dx ta được kết quả I = a + ( với a, b, c là các số nguyên dương). Khi đó giá trị của biểu thức T = a³ + 3b² + 2c bằng:

A. 55    B. 36    C. 38    D. 73

Lời giải:

Đặt h(x) = 3^x - (4 - x) = 3^x + x - 4 .

Bảng xét dấu

I = - (3^x + x - 4)dx + (3^x + x - 4)dx

= = 1 + ⇒ a = 1; b = 4; c= 3

⇒ T = a³ + 3b² + 2c = 55

Đáp án: A

Bài 101: Biết rằng = e² + e + c (a,b,c ∈ Z). Tính T = a + +

A. T = 6    B. T = 9    C. T = 10    D. T = 5 .

Lời giải:

Đặt t = ⇒ t² = 1 + 3x ⇒ 2tdt = 3dx ⇒

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2

⇒ = 2 t.e^tdt = 2(t.e^t - e^tdt) = 2(t.e^t - e^t ) = 2(2e² - e - e² + e) = 2e²

⇒ ⇒ T = 10.

Đáp án: C

Bài 102: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R , thỏa mãn f(x) > 0, ∀x ∈ R và f'(x) + 2f(x) = 0 . Tính f(-1) , biết rằng f(1) = 1 .

A. e^-2    B. e³    C. e⁴    D. 3 .

Lời giải:

Ta có f'(x) + 2f(x) = 0 ⇔ f'(x) = -2f(x) ⇔ = -2 (do f(x) > 0 ).

Lấy tích phân hai vế, ta được dx = - 2 dx ⇔ ln(f(x)) = - 2x

⇔ ln(f(1)) - ln(f(-1)) = - 4 ⇔ ln1 - ln(f(-1)) = - 4

⇔ ln(f(-1)) = - 4 ⇔ f(-1) = e⁴

Đáp án: C

Bài 103: Biết rằng ∫e^2x.cos3x.dx = e^2x(acos3x + bsin3x) + c , trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là

A. -    B. -    C.    D.

Lời giải:

Đặt f(x) = e^2x(acos3x + bsin3x) + c .

Ta có f'(x) = (2a + 3b)e^2xcos3x + (2b - 3a)e^2xsin3x

Để f(x) là một nguyên hàm của hàm số e^2xcos3x , điều kiện là

f'(x) = e^2xcos3x ⇔ ⇒ a + b =

Đáp án: C

Bài 104: Nếu f(x)dx = 2 thì I = (3f(x) - 2)dx bằng bao nhiêu?

A. I = 2 .    B. I = 3 .    C. I = 4 .    D. I = 1.

Lời giải:

Ta có I = (3f(x) - 2)dx = 3 f(x)dx - 2 dx = 3.2 - 2.x = 6 - 2 = 4.

Đáp án: C

Bài 105: Tính tích phân sau J =

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải:

Đặt x = 6 - t

Suy ra

⇒ J = 1

Đáp án: B

Bài 106: Tính tích phân sau K =

A. 2ln3 - 1    B. 3ln2 - 1    C. 2ln2 - 1    D. 2ln2

Lời giải:

Ta có K = (1 + cosx).ln(1 + sinx).dx - ln(1 + cosx)dx

Đặt x = - t ⇒ (1 + cosx).ln(1 + sinx).dx = (1 + sint).ln(1 + cost)dt

= (1 + sinx).ln(1 + cosx)dx ⇒ K = sinx.ln(1 + cosx)dx

Đặt ta chọn

K = -cosx.ln(1 + cosx) + = 2ln2 - 1

Đáp án: C

Bài 107: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ + 11x - 6 , y = 6x², x = 0, x = 2 . (Đơn vị diện tích)

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đặt h(x) = (x³ + 11x - 6 ) - 6x² = x³ - 6x² + 11x - 6

h(x) = 0 ⇔ x = 1 ν

x = 2 ν x = 3 (loại).

Bảng xét dấu

S = - (x³ - 6x² + 11x - 6 )dx + (x³ - 6x² + 11x - 6 )dx

= - ( - 2x³ + - 6x) + ( - 2x³ + - 6x) =

Đáp án: B

Bài 108: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng x = ; x = .

A. √3    B. 2√2    C. √2    D. 1

Lời giải:

Đặt f₁(x) = cosx, f₂(x) =sinx ;

Ta có f₁(x) - f₂(x) = 0 ⇔ cosx - sinx = 0 ⇔ x =

Diện tích hình phẳng đã cho là:

S = |cosx - sinx|dx = |sinx - cosx|dx + |cosx - sinx|dx

= |√2 + 1| + |-1 + √2| = 2√2

Đáp án: B

Bài 109: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số (H) :

A. 1    B.    C. 2    D. 3

Lời giải:

S(H)= |(x³ - 3x² + 3x - 1) - (1 - x)|dx = |x³ - 3x² + 4x - 2|dx

= (- x³ + 3x² - 4x + 2)dx + (x³ - 3x² + 4x - 2)dx

= ( - x³ - 2x² + 2x) + ( - x³ + 2x² - 2x)

= (- + 1 - 2 + 2) + ((4 - 8 + 8 - 4)- ( - 1 + 2 - 2)) = + =

Đáp án: B

Bài 110: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số

A. 1    B. ln2    C. 2    D. 1-ln2

Lời giải:

(Đồ thị giao với trục hoành tại điểm ( - ; 0) trục tung : x = 0.

Diện tích hình cần tìm là S =

= |(2x - ln|x + 1|)| = ( - 1 - ln ) = 1 + ln1 - ln2 = 1 - ln2 (ĐVDT)

Đáp án: D

Bài 111: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = e^x, y = 2 và đường thẳng x=1

A. e - 2    B. 2ln2 - 4    C. e + 2ln2    D. e + 2ln2 - 4

Lời giải:

Giải PT : e^x = 2 ⇔ x = ln2 ; Diện tích hình phẳng cần tìm là :

S = |e^x - 2|dx = (e^x - 2)dx = (e^x - 2x) = (e - 2) - (e^ln2 - 2ln2)

= (e - 2) - (2 - 2ln2) = e + 2ln2 - 4 (ĐVDT)

Đáp án: D

Bài 112: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox; đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng x = π , x =

A.    B.    C.    D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: V = π sin²xdx = (1 - cos2x)dx = (x - sin2x) = (π - ) = (ĐVTT)

Đáp án: A

Bài 113: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox Đồ thị hàm số

y = cosx, y = 0, x = 0 , x =

A. ( + 2)    B. ( + )    C. ( + 1)    D. ( + 2)

Lời giải:

Ta có: V = π cos²xdx = (1 + cos2x)dx = (x + sinx) = ( + ) (ĐVTT)

Đáp án: B

Bài 114: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox Đồ thị hàm số

y = x.e^x , y = 0, x = 0, x = 1

A. (e² - 1)    B. (e² + 1)    C. (e² - 1)    D. (e² + 1)

Lời giải:

Ta có : V = π x²e^2xdx Đặt :

V = x²e^2x - π xe^xdx = .e² - π xe^xdx

Tính I = xe^xdx , Đặt

Thay I vào V ta có : (ĐVTT)

Đáp án: A

Bài 115: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox đồ thị hàm số : y = x³ - x² và các đường y = 0, x = 0, x = 3.

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 116: Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = |x² - 1|, y = |x| + 5 . Diện tích của (H) bằng

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Xét pt |x² - 1| = |x| + 5 có nghiệm x = - 3, x = 3

Suy ra S = |(|x² - 1| - (|x| + 5))|dx = 2 ||x² - 1| - (x + 5)|dx

Bảng xét dấu x² - 1 trên đoạn [0;3]

Vậy S = 2| ( - x² - x - 4)dx + (x² - x - 6)dx| =

Đáp án: B

Bài 117: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x² + 3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng

A.    B.    C. 2    D.

Lời giải:

PTTT của (P) tại x = 2 là y = 4x + 3

Xét pt (x² + 3) - (4x + 3) = 0 ⇔ x² - 4x = 0 ⇔

Suy ra S = |x² - 4x + 4|dx = | (x² - 4x + 4)dx| = |( - 2x² + 4x) | =

Đáp án: A

Bài 118: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y² - 2y + x = 0, x + y = 0 là

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Biến đổi về hàm số theo biến số y là x = - y² + 2y, x = - y

Xét pt tung độ giao điểm (- y² + 2y) - (-y) = 0 có nghiệm y =0, y = 3

Vậy S = |-y² + 3y|dy = (-y² + 3y)dy =

Đáp án: B

Bài 119: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x², y = x² ; y = bằng

A. 27ln2    B. 27ln3    C. 28ln3    D. 29ln3

Lời giải:

Xét các pthđgđ x² - x²= 0 ⇒ x = 0; x² - = 0 ⇒ x = 3; x² - = 0 ⇒ x = 9

Suy ra

S = (x² - x²)dx + ( - x²)dx = 27ln3

Đáp án: B

Bài 120: Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Ta có y² = y + 2 ⇔ , Nên S = (y + 2 - y²)dy =

Đáp án: D

---