150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao - phần 4)

Với 150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng (nâng cao - phần 4) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng (nâng cao - phần 4).

150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao - phần 4)

Bài 121: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = √3 , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

(0 ≤ x ≤ √3) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và .

A. 1    B. 2    C.    D. 3

Lời giải:

Ta có diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) là:

S(x) = x. nên thể tích cần tính là:

V = x. dx = d(1 + x²) = (1 + x²) = (đvtt) .

Đáp án: C

Bài 122: Cho parabol (P): y = x² + m . Gọi (d) là tiếp tuyến với (P) qua O có hệ số góc

k > 0 . Xác định m để khi cho quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi (P),(d) và trục Oy có thể tích bằng 6π .

A. m = 4    B. m = 5    C. m = 6    D. m = 7

Lời giải:

Tiếp tuyến (d) qua O có dạng y = kx, k > 0 . (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ x₀ khi hệ có nghiệm x₀ tức phương trình x₀ = m có nghiệm x₀ > 0 hay x₀ = √m và m ≥ 0 suy ra k = 2√m .

Phương trình (d) : y = 2√m

Mà V = 6π ⇒ m = 6 mà m ≥ 0 suy ra m = 6 .

Vậy, m = 6 thỏa mãn bài toán.

Đáp án: C

Bài 123: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y =x và đồ thị hàm số y = trong miền x ≥ 0 , y ≤ 1 là . Khi đó b - a bằng

A. 4    B. 2    C. 3    D. 1

Lời giải:

Ta có

x - 1 = 0 ⇒ x = 1; x - = 0 ⇒ x = 0; 1 - = 0 ⇒ x = 2

Nên S = (x - )dx + (1 - )dx =

Vậy a=5; b=6 và b-a=1

Đáp án: D

Bài 124: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =

và y = x - x² là . Khi đó a + 2b bằng

A. 16    B. 15    C. 17    D. 18

Lời giải:

Ta có

x - x² = - x ⇒ x = 0

x - x² = x - 2 ⇒ x = 3

Nên S = ( x - x² + x)dx + ( x - x² - x + 2)dx =

Suy ra a=13 ; b=2 và a+2b=17.

Đáp án: C

Bài 125: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(2) = 16, f(x)dx = 4 . Tính I = x.f'(2x)dx

A. 13    B. 12    C. 20    D. 7.

Lời giải:

Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx, Đổi cận x = 0 ⇔ t = 0, x = 1 ⇔ t = 2

I = tf'(t)dt

Đặt

I = (tf(t) - f(t)dt ) = (2f(2) - 0f(0) - 4) = 7

Đáp án: D

Bài 126: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân f(tanx)dx = 4

và = 2 , tính tích phân I = f(x)dx .

A. 6    B. 2    C. 3    D. 1.

Lời giải:

Đặt t = tanx ⇒ dt = (1 + tanx)dx ⇒ = dx

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 và x = ⇒ t = 1

Đó đó: f(tanx)dx = 4 ⇒ = 4 ⇒ = 4

Nên + = 4 + 2 ⇔ f(x)dx = 6

Đáp án: A

Bài 127: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x , y = 2x ,

x = .

A. - 4    B. π² - π    C. -    D. + .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

x.sin2x = 2x ⇔x(sin2x - 2) = 0 ⇔

S = |xsin2x - 2x|dx = | (xsin2x - 2x)dx| = |( sin2x - xcos2x - x²) | = -

Đáp án: C

Bài 128: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bời hai đồ thị y = x² - 4x + 6 , y = -x² - 2x + 6 .

A. 3π    B. π -1    C. π    D. 2π .

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² - 4x + 6 = -x² - 2x + 6 ⇔ 2x² - 2x = 0 ⇔

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bời hai đồ thị y = x² - 4x + 6 , y = -x² - 2x + 6 là

V = π |(x² - 4x + 6)² - (-x² - 2x + 6)²| = π| (36x² - 12x³ - 24x)dx| = 3π

Đáp án: A

Bài 129: Biết (a,b ∈ Z) là. Tính P = a + b

A. P = 2    B. P = - 4    C. P = 4    D. P = - 2

Lời giải:

Ta có

Đặt t = x.cosx ⇒ dt = cosx - x.sinx

Đổi cận suy ra I = ⇒ a = 3; b = 1

Đáp án: C

Bài 130: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = √3x² và nửa đường tròn có phương trình y = với - 2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của (P) và ( C) là nghiệm của √3x² = ⇔

Khi đó, diện tích cần tính là H = 2.( dx - √3x²dx) =

Đáp án: D

Bài 131: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [1;4],f(1) = 12 và

f'(x)dx = 17. Giá trị của f(4) bằng

A. 29    B. 5    C. 19    D. 9

Lời giải:

Ta có f'(x)dx = f(4) - f(1) ⇒ f(4) = 17 + f(1) = 29

Đáp án: A

Bài 132: Cho = a√b - √a + (a,b ∈ N^*). Tính a + 2b

A. a + 2b = 7    B. a + 2b = 8    C. a + 2b = -1    D. a + 2b = 5

Lời giải:

Theo giả thiết:

= 2√3 - √2 + = a√b - √a + ⇒ a = 2; b =3 ⇒ a + 2b = 8

Đáp án: B

Bài 133: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng N'(x) = và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?

A. 10130.    B. 5130.    C. 5154.    D. 10132.

Lời giải:

Ta có = 2000ln|1 + x| 2000ln13 = N(12) - N(0)

⇒ N(12) = 2000ln13 + 5000 ≈ 10130

Đáp án: A

Bài 134: Cho f(x² + 1)xdx = 2. Khi đó I = f(x)dx bằng

A. 2.    B. 1.    C. -1.    D. 4.

Lời giải:

Đặt t = x² + 1 ⇒ dt = 2xdx,

⇒ f(x² + 1)xdx = f(t)dt = f(x)dx = ⇒ I = 4

Đáp án: D

Bài 135: Biết (2x - 1)dx = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. b - a = 1    B. a² - b² = a - b + 1    C. b² - a² = b - a + 1    D. a - b = 1

Lời giải:

Ta có (2x - 1)dx =(x² - x) = (b² - a²) - (b - a) = 1 ⇔ b² - a² = b - a + 1

Đáp án: C

Bài 136: Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn 2f(x) + 3f(1 - x) = Tính I = f(x)dx

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Ta có 2I = 2f(x)dx = ( - 3f(1 - x))dx = dx - 3 f(1 - x)dx

Mà dx = (casio) và f(x)dx = f(1 - x)dx ⇒ 2I = - 3I ⇔ I =

Đáp án: C

Bài 137: Cho hàm số y = f(x) có 1 ≤ f'(x) ≤ 4 với mọi x ∈ [2;5] . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. 3 ≤ f(5) - f(2) ≤ 12    B. -12 ≤ f(5) - f(2) ≤ 3

C. 1 ≤ f(5) - f(2) ≤ 4    D. -4 ≤ f(5) - f(2) ≤ -1

Lời giải:

Đầu tiên ta phải nhận dạng được f(5) - f(2) = f'(x)dx .

Do 1 ≤ f'(x) ≤ 4 , ∀x ∈ [2;5] →

Vậy 3 ≤ f(5) - f(2) ≤ 12.

Đáp án: A

Bài 138: Cho m thỏa mãn (m² + (4 - 4m)x + 4x³)dx = 2xdx . Nghiệm của phương trình log₃(x + m) = 1 là:

A. x = 0    B. x = 1    C. x = 2    D. x = 3.

Lời giải:

Ta có: (m² + (4 - 4m)x + 4x³)dx = (m²x + (2 - 2m)x² + x⁴) = m² - 6m + 21

và 2xdx = x² = 12

Suy ra: m² - 6m + 21 = 12 ⇔ m² - 6m + 9 = 0 ⇔ m = 3.

Khi đó: log₃(x + 3) = 1 ⇔ x + 3 = 3 ⇔ x = 0

Đáp án: A

Bài 139: Tính tích phân I = được kết quả I = a.ln3 + b.ln5 với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của a² + a.b + 3b² là

A. 4    B. -1    C. 0    D. 5

Lời giải:

Đặt t = ⇒ t² = 3x + 1 ⇒ . Đổi cận:

Khi đó I = = 2.ln3 - ln5 = a.ln3 + b.ln5

Suy ra a = 2; b = -1 ⇒ a² + a.b + 3b² = 5 .

Đáp án: D

Bài 140: Cho f(x)dx = - 3 . Tính f( )dx .

A. - 6    B. -    C. - 1    D. - 5.

Lời giải:

Cách 1: Đặt t = ⇒ 2t = x ⇔ dx = 2dt

Khi đó f(x)dx = 2 f(t)dt = 2 f(x)dx = 2.(-3) = -6.

Cách 2: Chọn f(x) = - 3 thỏa mãn 2 f(x)dx = 2 -3.dx = -3x = -3.

Suy ra f( )dx = -3x.dx = - 6.

Đáp án: A

Bài 141: Cho hàm số f(x) thỏa mãn (x + 1)f'(x)dx = 10 và 2.f(1) - f(0) = 2 .

Tính I = f(x)dx .

A. I = -12    B. I = 8    C. I = 12    D. I = -8 .

Lời giải:

Đặt

Suy ra 10 = (x + 1)f'(x)dx = (x + 1)f(x) - f(x)dx

⇔ 10 = 2f(1) - f(0) - I ⇔ 10 = 2 - I ⇔ I = -8 .

Đáp án: D

Bài 142: Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0;2] . Biết F[0] = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và F(x)g(x)dx = 3 .

Tính tích phân hàm: I = G(x)f(x)dx.

A. I = 3    B. I = 0    C. I = - 2    D. I = 4 .

Lời giải:

Đặt

Suy ra: I = G(x).F(x) - F(x).g(x).dx = G(2).F(2) - G(0).F(0) - 3 = 1 - 0 - 3 = - 2

Đáp án: C

Bài 143: Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường

y = ; y = 0; x = 1

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Ta có: = 0 ⇔ 3^x = 1 ⇔ x = 0 . Rõ ràng ≥ 0 với mọi x ∈ [0;1]

Do đó diện tích của hình phẳng là

Đặt t = , ta có khi x = 0 thì t = √2 , khi x = 1 thì t = 2 và 3^x = t² - 1

Suy ra 3^xln3dx = 2tdt , hay 3^xdx = . Khi đó ta có

Đáp án: A

Bài 144: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x², y = 4x - 4

và y = -4x - 4

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Ta thấy đường thẳng y = -4x - 4 và đường thẳng y = 4x - 4 lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại các tiếp điểm có hoành độ x = -2 và x = 2

Do tính đối xứng qua Oy của parabol y = x² nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 lần diện tích tam giác cạnh OMT₂ và bằng:

S = 2 (x² - (4x - 4))dx = 2 (x - 2)²dx =

Đáp án: B

Bài 145: Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (x - 1)lnx và y = x - 1 .

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 x = 1 hoặc x = e.

+ ) Diện tích cần tìm là:

S = |(x - 1)(lnx - 1)|dx = | (x - 1)(lnx - 1)dx| = | (lnx - 1)d( - x)|

= |( - x)(lnx - 1) - ( - 1)dx| = |- - ( x² - x) | = (đvdt).

Đáp án: A

Bài 146: Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (e + 1)x; y = (e^x + 1)x

A.    B.    C.    D. - 1

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình

(e + 1)x = (1 + e^x)x

Diện tích cần tính là S = |x(e^x - e)|dx

S = | x.e^xdx - e.x.dx| = | xd(e^x) - e xdx|

= |x.e^x - e^xdx - e. | = - 1

Đáp án: D

Bài 147: Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (x - 1).ln(x + 1) và trục hoành

A. 3 - 2ln2    B. - + 2ln2    C. - + 2ln2    D. 4 + ln2

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:

(x - 1)ln(x + 1) = 0

→Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1).ln(x + 1) và trục hoành là

S = |(x - 1)ln(x + 1)|dx = (1 - x)ln(x + 1)dx

Đặt

→

= ln2 + ( x - + )dx

= ln2 + ( x² - x + ln(x + 1)) = ln2 - + ln2 = - + 2ln2

Đáp án: C

Bài 148: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi

y = Và y = 0; x = 0; x = 1 xung quanh Ox

A. (6ln - 1)    B. (6ln - 1)    C. (6ln - 1)    D. (6ln + 1)

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay là V =

Đặt t = , ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và x = nên dx = - dt .

Khi đó ta có:

Đáp án: C

Bài 149: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi

y = trục hoành và x=1 xung quanh trục hoành

A. π( - + )    B. ( - + )

C. ( - + )    D. ( - + )

Lời giải:

Ta có ≥ 0, ∀x ≥ 0 và = 0 ⇔ x = 0 .

Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính là:

V = π x(3^x + 1)dx = π x.3^xdx + π xdx = π x.3^xdx + . (1)

Tính x.3^xdx . Đặt u = x; dv = 3^xdx . suy ra du = dx; v =

Theo công thức tích phân từng phần ta có

x.3^xdx = = - .

Thay vào (1) ta được V = π( - + ) .

Đáp án: A

Bài 150: Gọi D là miền giới hạn bởi (P): y = 2x - x² và trục hoành. Tính thể tích vật thể V do ta quay (D) xung quanh trục Oy

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

0 ≤ x ≤ 2 thì y = 2x - x² ⇔ x² - 2x + y = 0

Phương trình bậc hai theo y. Ta có Δ = 1 - y, y ≤ 1

V_y = π ((1 + )² - (1 - )²)dy = 4π dy

Đặt u = ⇒ u² = 1 - y ⇒ 2udu = - dy

Đổi cận

V_y = 4π dy = 4π u.(-2u.du) = 8π u²du = 8π = đvtt.

Đáp án: B

---