15 Bài tập hàm số mũ và logarit nâng cao có lời giải

Bài viết 15 Bài tập hàm số mũ và logarit nâng cao có lời giải gồm các dạng bài tập về Hàm số mũ và logarit lớp 12 từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh lớp 12 biết cách làm bài tập Hàm số mũ và logarit.

15 Bài tập hàm số mũ và logarit nâng cao có lời giải

Câu 1:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) .

   A. .

   B. .

   C. .

   D. m<e+1

Lời giải:

   

   •Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) khi và chỉ khi (*),

   mà .

   Nên (*)

   • Đặt ,

   .

   Vậy (*) xảy ra khi m ≥ g(2) hay m ≥ 3e⁴+ 1

   Chọn B.

Câu 2:Xét các số thực a; b thỏa mãn a> b> 1. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức .

   A.19

   B. 16

   C.m 18

   D. 15

Lời giải:

   Với điều kiện đề bài, ta có

   

   Đặt (vì a > b > 1),

   ta có .

   Ta có

   Vậy f’ (t) = 0 khi t= ½. Lập bảng biến thiên ta có P_min= 15

   Chọn D

Câu 3: Cho hai số thực dương x;y thỏa mãn 2^x+ 2^y= 4. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức P= ( 2x²+ y) ( 2y²+ x) = 9xy.

   A. 15

   B. 18

   C . 30

   D. 19

Lời giải:

   Ta có .

   Suy ra .

   Khi đó .

   .

   Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 18.

   Chọn B.

Câu 4:Cho . Nếu a+ b= 1 thì f( a) + f( b) là

   A. 2

   B . 5

   C. 6

   D. 1

Lời giải:

   Do a+ b= 1 nên b= 1-a

   Khi đó ta có:

   .

   Chọn D.

Câu 5:Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4.3^log(100x2) + 9.4^long(10x) = 13.6^1+logx .

   A.50

   B. 60

   C. 80

   D.1

Lời giải:

   Điều kiện x> 0.

   PT ⇔ 4.3^log(100x2) + 9.2^long(10x) = 13.6^1+logx

   

   Đặt thì phương trình trở thành:

   .

   Suy ra tích các nghiệm bằng .

   Chọn D.

Câu 6:Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6^x +(3-m)2^x - m = 0 có nghiệm thuộc khoảng( 0;1 ) .

   A. [3; 4]

   B.(4; 5]

   C.(2; 4)

   D. Đáp án khác

Lời giải:

   Ta có: 6^x +(3-m)2^x - m = 0 (1) ⇔

   Xét hàm số f( x) xác định trên R có

    nên hàm số f(x) đồng biến trên R.

   Suy ra 0<, x< 1 nên f(0) < f( x) < f( 1) hay 2< f(x) < 4

   Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) khi m ∈ (2;4) .

   Chọn C.

Câu 7:Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình m.3^x2-3x+2+3^4-x2=3^6-3x+m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

   A. 0

   B. 1

   C. 3

   D. 5

Lời giải:

   Đặt . . Khi đó phương trình trở thành

   

   Để phương trình có ba nghiệm thì x²=4-log₃m có một nghiệm khác 1;2 .

   Tức 4-log₃m=0 ⇔ m=81 .

   Chọn B

Câu 8:Số nghiệm của phương trình là

   A. 1

   B.3

   C. 4

   D. 2

Lời giải:

   ĐK: .

   Đặt

   .

   Đặt

   

   Xét (1):5^u + 3^u =2

   Ta thấy u= 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u= 0 là duy nhất.

   Với , phương trình này vô nghiệm.

   Xét

   Ta thấy u= 1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u= 1 là duy nhất.

   Với , phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

   Chọn D.

Câu 9:Trong tất cả các cặp (x; y) thỏa mãn log_x²+y²+2(4x+4y-4)≥1 . Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x; y) sao cho x²+y²+2x-2y+2-m=0 .

   A. .

   B. .

   C. .

   D. .

Lời giải:

   Ta có log_x²+y²+2(4x+4y-4)≥1 ⇔ x² + y² - 4x - 4y + 6 ≤ 0 (1) .

   Giả sử M( x; y) thỏa mãn pt (1) , khi đó tập hợp điểm M là hình tròn (C₁) tâm I (2; 2) bán kính .

   Các đáp án đề cho đều ứng với m > 0.

   Dễ thấy x²+y² + 2x - 2y + 2 - m = 0 là phương trình đường tròn (C₂) tâm J( -1; 1) bán kính .

   Vậy để tồn tại duy nhất cặp (x; y) thỏa đề khi chỉ khi ( C₁) và ( C₂) tiếp xúc ngoài

   .

   Chọn A.

Câu 10:Thầy Đạt gửi 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,7%/tháng. Chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên thành 1,15%/tháng. Tiếp theo, sáu tháng sau lãi suất chỉ còn 0,9%/tháng. Thầy Đạt tiếp tục gửi thêm một số tháng nữa rồi rút cả vỗn lẫn lãi được 5787710,707 đồng. Hỏi thầy Đạt đã gửi tổng thời gian bao nhiêu tháng?

   A. 16tháng.

   B. 17 tháng.

   C. 19 tháng.

   D. 14tháng.

Lời giải:

   + Gọi a là số tháng mà thầy Đạt gửi tiền với lãi suất 0,7%.

   Gọi b là số tháng mà thầy Đạt gửi tiền với lãi suất 0,9%.

   + Theo đề bài, ta có phương trình:

   

   _ Với a+ b= 9, thử với a; b là số tự nhiên ta thấy (*) không thoả mãn.

   - Với a+ b= 10 , thử với a; b là số tụ nhiên ta được a=6; b=4thoả mãn

   Vơí a= b= 11, thử ta thấy (*) không thoả mãn.

   Vậy thầy Đạt gởi tổng thời gian là 16 tháng.

   Chọn A.

Câu 11: Bất phương trình có tập nghiệm là S= [ a; b] thì b+a bằng

   A. -8

   B. -2

   C.-6

   D. 1

Lời giải:

   Ta có:

   chia hai vế bất phương trình cho 5^x ta được :

    (1)

   Đặt phương trình (1) trở thành:

   

   Khi đó ta có:

   nên a= - 4; b= 2 và b+a= -2

   chọn B.

Câu 12:Biết x= 7,5 là một nghiệm của bất phương trình (*). Tập nghiệm T của bất phương trình (*) là:

   A. ( 2; 16)

   B. (1; 9)

   C. (2; 8)

   D. (2; 19)

Lời giải:

   

   + Nếu a > 1 ta có

   

   Nếu 0< a< 1 ta có

   

   Mà x= 7,5 là một nghiệm của bất phương trình nên hệ số a > 1.

   Chọn D.

Câu 13:Cho hàm số . Tính giá trị biểu thức ?

   A. 50

   B. 60

   C. 70

   D. Tất cả sai

Lời giải:

   Ta chứng minh tính chất f( x) + f( 1-x) =1 của hàm số .

   Thật vậy

   .

   Ta có

   

   Chọn D.

Câu 14: nghiệm của phương trình là

   A. 2.

   B. 3.

   C. 1.

   D. đáp án khác

Lời giải:

   Điều kiện x ≠ 0

   - Nếu , dấu bằng xảy ra khi x = 1/ 2 và ,

   dấu bằng xảy ra khi x= 2 suy ra

   - Nếu

   dấu bằng xảy ra khi x= -1/2

   và , dấu bằng xảy ra khi x= 2

   Suy ra

   Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

   Chọn D.

Câu 17:Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt là:

   A.

   B.

   C.

   D.

Lời giải:

   Ta có (1)

    (2)

   Xét hàm số

   Vì f’ (t) > 0 mọi t ≥ nên hàm số đồng biến trên (0;+∞)

   Khi đó

   

   Phương trình ( 1) có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:

   TH1+) PT (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT ( 4)

   Khi đó ; m=3/2 thay vào PT (4) thỏa mãn.

   TH2+) PT (4) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của Pt (3)

   Khi đó; m= ½ thay vào PT (3) thỏa mãn.

   TH3+) PT (4) có hai nghiệm phân biệt và PT (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau

    ,với ½< m< 3/2

   Thay vào PT ( 3) tìm được m= 1

   Chọn D.

Câu 18:Trong các nghiệm ( x; y) thỏa mãn bất phương trình log_x²+2y²(2x + y)≥1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T =2x+ y bằng:

   A.9/ 2

   B. 9/4

   C.3

   D.9.

Lời giải:

   Bất phương trình đã cho

   .

   TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó

   TH2: (x; y) thỏa mãn (I) .

   Khi đó

   

   Suy ra :max T =9/2 khi ( x; y) = (2; ½)

   Chọn A.

Câu 19:Cho x; y là số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln(x² + y) . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x- y

   A. P =6

   B. .

   C. .

   D. 3

Lời giải:

   Từ ln x + ln y ≥ ln(x² + y) ⇔xy ≥ x² + y .

   Nếu 0<x ≤ 1 thì y ≥ xy ≥ x2+y hay 0 ≥ x2 mâu thuẫn.

   Nếu x > 1 thì .

   Vậy .

   Ta có xét trên (1; +∞) .

   Có

   Vậy .

   Chọn B.

Câu 20:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm x ≥ 32 ?

   A. .

   B. .

   C. .

   D. .

Lời giải:

   Điều kiện: x > 0

   Khi đó phương trình tương đương: .

   Đặt t= log₂x với x≥32 ⇒ log₂x≥log₂32 = 5 hay t ≥ 5

   Phương trình có dạng .

   Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ 5”

   Với t ≥ 5 thì

   

   

   Ta có

   Với

   hay suy ra

   chọn A.

Câu 21:Cho phương trình (m là tham số ).Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1.x2= 3. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

   A. 1< m< 2.

   B. 3<m<4.

   C.0< m<3/2.

   D. 2<m<3.

Lời giải:

   Điều kiện x > 0

   Ta có:

   

   

   

   Đặt t= log₃x .

   Khi đó phương trình (1)

   Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x₁.x₂= 3 ⇔ log₃x₁.x₂ = 1

   ⇔ log₃x₁ + log₃x₂ = 1 ⇔ t₁ + t₂ = 1

   Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (2)

   Ta có

   Vậy 0<m<3/2 .

   Chọn C.

---