Bài tập viết phương trình mặt cầu (phần 2) - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài tập viết phương trình mặt cầu (phần 2)

Bài 16: Cho mặt phẳng (P): x - 2y - 2z + 10 = 0 và hai đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Mặt cầu (S) có tâm thuộc Δ1, tiếp xúc với Δ2 và mặt phẳng (P), có phương trình:

   A. (x + 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 9 hoặc (x + 11/2)2 + (y + 7/2)2 + (z - 5/2)2 = 81/4.

   B. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 9 hoặc (x - 11/2)2 + (y - 7/2)2 + (z + 5/2)2 = 81/4.

   C. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 9.

   D. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 3.

Đáp án : B

Giải thích :

Phương trình tham số của đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do I thuộc đường thẳng Δ1 nên I ( 2+t; t; 1- t)

Đường thẳng Δ2 đi qua điểm M (2; 0; -3) và có vecto chỉ phương u =(1;1;4)

IM =(-t; -t;t-4) ⇒ [ IM , u ] =(4 -5t; 5t -4; 0)

Khoảng cách từ I đến Δ2 là:

d(I; Δ2 )Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo bài ra, mặt cầu tiếp xúc với Δ1 và mặt phẳng (P) nên:

d(I; Δ1 )= d(I;(P)) =R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ |5t -4| =|t +10|

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=7/2, I(11/2; 7/2; (-5)/2), R=9/2

Với t = - 1, I (1; -1; 2); R= 3

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x -11/2)2 +(y -7/2)2 +(z +5/2)2 =81/4

(x -1)2 +(y +1)2 +(z -2)2 =9

Bài 17: Cho điểm A(2;5;1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

   A. (x + 16)2 + (y + 4)2 + (z - 7)2 = 196.

   B. (x + 8)2 + (y + 8)2 + (z - 1)2 = 196.

   C. (x - 8)2 + (y - 8)2 + (z + 1)2 = 196.

   D. (x - 16)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 196.

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi H (a; b; c).

AH=(a -2; b -5; c -1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(6;3;-2)

Do H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) nên AH vuông góc với mặt phẳng (P).

AH=k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0

⇔ 6(6k+2) +3(3k+5) -2(-2k+1) +24 =0

⇔ k= -1

⇒ H(-4;2;3)

Gọi R là bán kính mặt cầu.

Mặt cầu (S) có diện tích là 784π

⇒ 4π R2=784π ⇒ R=14

Gọi I (m, n, p) là tâm mặt cầu

IH=(-4-m; 2-n; 3-p)

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên ta cóToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét (*): |t n |=R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇔ |t| =2 ⇔ t =±2

Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)

Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 21>R

⇒ A nằm ngoài mặt cầu.

Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)

Khi đó:

IAToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 7<R

⇒ A nằm trong mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-8)2 +(y-8)2 +(z+1)2 =196

Bài 18: Cho mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0 và các điểm A(0;0;4), B(2;0;0). Phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

   A. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 6.

   B. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 6.

   C. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 6.

   D. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 6.

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

Lại có mặt cầu đi qua O; A; B nên IO = IA = IB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án⇒ I(1;b;2)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d(I;(P))=IO

⇔ (b+5)2/6 =5 +b2⇔ 5b2 -10b +5 =0 ⇔ b=1

Vậy I (1; 1; 2) và R = √6

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-12 +(z-2)2 =6

Bài 19: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = 0. Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A(1;-1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là:

   A. (S): (x - 3)2 + (y - 7)2 + (z + 3)2 = 56.

   B. (S): (x + 3)2 + (y + 7)2 + (z - 3)2 = 56.

   C. (S): (x + 3)2 + (y + 7)2 + (z - 3)2 = 14.

   D. (S): (x - 3)2 + (y - 7)2 + (z + 3)2 = 14.

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm của mặt cầu

IA=(1 -a; -1 -b; 1 -c)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(2;3; -1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại điểm A nên IA vuông góc với mặt phẳng (P)

IA= k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có I thuộc mặt phẳng (Q) nên ta có:

2a -b -c +2 =0

⇔ 2(1 -2k) +(1 +3k) -1 -k +2 =0

⇔ k=2

Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu: R=|IA | =|k n |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 2√14

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+3)2 +(y+7)2 +(z-3)2 =56

Bài 20: Cho điểm I(0;0;3) và đường thẳngToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

   A. x2 + y2 + (z - 3)2 = 4/3.

   B. x2 + y2 + (z - 3)2 = 3/2.

   C. x2 + y2 + (z - 3)2 = 2/3.

   D. x2 + y2 + (z - 3)2 = 8/3.

Đáp án : D

Giải thích :

Bài 20: Chọn D

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 0; 2) và có vecto chỉ phương u =(1;2;1)

IM =(-1;0; -1) ⇒ [IM ; u ]=(2;0;-2)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là

d(I;d)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác IAB có IA = IB = R, vuông cân tại I nên AB= R√2

Mặt khác ta có: IA. IB = d(I;d).AB

⇔ R2Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇔ R=(2√6)/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là

x2 +y2 +(z-3)2 =8/3

Bài 21: Cho điểm I(1;0;0) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB=4 là:

   A. (x - 1)2 + y2 + z2 = 9.

   B. (x - 1)2 + y2 + z2 = 3.

   C. (x + 1)2 + y2 + z2 = 3.

   D. (x + 1)2 + y2 + z2 = 9.

Đáp án : A

Giải thích :

Đường thẳng (d) đi qua điểm M (1; l; -2) và có vecto chỉ phương u=(1;2;1)

IM=(0;1; -2) ⇒ [IM ; u ]=(5; -2; -1)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là:

h =d(I;d)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi R là bán kính của mặt cầu. Ta có:

R2 =h2 +(AB/2)2 =5 +22 =9

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +y2 +z2 =9

Bài 22: Cho điểm I(1;0;0) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

   A. (x - 1)2 + y2 + z2 = 16/4.

   B. (x + 1)2 + y2 + z2 = 20/3.

   C. (x - 1)2 + y2 + z2 = 20/3.

   D. (x - 1)2 + y2 + z2 = 5/3.

Đáp án : C

Giải thích :

Đường thẳng (d) đi qua điểm M (1; l; -2) và có vecto chỉ phương u=(1;2;1)

IM=(0;1; -2) ⇒ [IM ; u ]=(5; -2; -1)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là:

h =d(I;d)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do tam giác IAB đều nên ta có:

h =(IA√3)/2 ⇒ √5=(R√3)/2 ⇒ R=(2√15)/3

Vậy phương trình mặt cầu là

(x-1)2 +y2 +z2 =20/3

Bài 23: Cho điểm I(1;1;-2) đường thẳngToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho IABˆ = 300 là:

   A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 36.

   B. (x - 1)2 + y - 1)2 + (z + 2)2 = 72.

   C. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 66.

   D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 46.

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là chân đường vuông góc của I trên AB

Xét tam giác AHI vuông tại H, AI = R có:

IH=AI.sin⁡(IABˆ) =R.sin⁡(300)=R/2

Điểm M (-1; 3; 2) ∈d

IM=(-2;2; 4)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; 2;1)

Ta có: [IM ; u ]=(-6;6;-6)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: IH = d(I,Δ)

⇒ R/2=3√2 ⇒ R=6√2

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-1)2 +(z+2)2 =72

Bài 24: Phương trình mặt cầu có tâm I(3; √3; -7) và tiếp xúc trục tung là:

   A. (x + 3)2 + (y + √3)2 + (z - 7)2 = 58.

   B. (x - 3)2 + (y - √3)2 + (z + 7)2 = 61.

   C. (x - 3)2 + (y - √3)2 + (z + 7)2 = 58.

   D. (x - 3)2 + (y - √3)2 + (z + 7)2 = 12.

Đáp án : C

Giải thích :

Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy là

d= √(32 +72) =58

Do mặt cầu tiếp xúc với Oy nên R = d

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x -3)2 +(y -√3)2 +(z+7)2 =72

Bài 25: Phương trình mặt cầu có tâm I(√5; 3; 9) và tiếp xúc trục hoành là:

   A. (x - √5)2 + (y - 3)2 + (z - 9)2 = 90.

   B. (x - √5)2 + (y - 3)2 + (z - 9)^} = 14.

   C. (x + √5)2 + (y + 3)2 + (z + 9)2 = 86.

   D. (x + √5)2 + (y + 3)2 + (z + 9)2 = 90.

Đáp án : A

Giải thích :

Khoảng cách từ điểm I đến trục Ox là

d=√(32 +92)=90

Do mặt cầu tiếp xúc với Ox nên R = d

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x -√5)2 +(y-3)2 +(z-9)2 =72

Bài 26: Phương trình mặt cầu có tâm I(-√6; -√3; √2 -1) và tiếp xúc trục Oz là:

   A. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 + 1)2 = 3.

   B. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 - 1)2 = 9.

   C. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 - 1)2 = 3.

   D. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 + 1)2 = 9.

Đáp án : D

Giải thích :

Khoảng cách từ I đến trục Oz là

d=√(6+3)=9

Do mặt cầu tiếp xúc với Ox nên R = d

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x -√6)2 +(y-√3)2 +(z-√2+1)2 =9

Bài 27: Phương trình mặt cầu có tâm I(4;6;-1) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

   A. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 26.

   B. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 74.

   C. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 34.

   D. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 104.

Đáp án : B

Giải thích :

Khoảng cách từ I đến trục Ox là:

h =√(62 +1)=√37

Vì tam giác IAB cân tại I nên tam giác IAB vuông cân tại I

Gọi R là bán kính mặt cầu ⇒ IA=IB=R;AB=R√2

Ta có: IA . IB = h . AB ⇒ R2 =√37 . R√2 ⇒ R=√74

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x-4)2 +(y-6)2 +(z+1)2 =74

Bài 28: Phương trình mặt cầu có tâm I(3;6;-4) và cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6√5 là:

   A. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 49.

   B. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 45.

   C. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 36.

   D. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 54.

Đáp án : A

Giải thích :

Khoảng cách từ điểm I đến trục Oz là:

h=√(32 +62)= 3√5

Ta có:

SIAB=1/2 h . AB ⇒ AB=(2SIAB)/h =4

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R2 =h2 +(AB/2)2 =49

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-3)2 +(y-6)2 +(z+4)2 =49

Bài 29: Cho các điểm I(-1;0;0) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc d là:

   A. (x + 1)2 + y2 + z2 = 10.

   B. (x - 1)2 + y2 + z2 = 5.

   C. (x + 1)2 + y2 + z2 = 5.

   D. (x - 1)2 + y2 + z2 = 10.

Đáp án : C

Giải thích :

Đường thẳng d đi qua điểm M (2; 1; 1) và có vecto chỉ phương u=(1;2;1)

IM=(3;1;1) ⇒ [IM , u ]=(-1; -2;5)

Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:

d(I,d)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu tiếp xúc với d nên d(I,d)=R

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+1)2 +y2 +z2 =5

Bài 30: Cho các điểm A(1;3;1) và B(3;2;2). Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz có đường kính là:

   A. 2√6   B. √(14)

   C. 2√(10)   D. 2√(14)

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc trục Oz nên I (0; 0; c)

Mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB = R

⇒ IA2 =IB2

⇔ 12 +32 +(c-1)2 =32 +22 +(c-2)2

⇔ 2c=6 ⇔ c=3

Vậy I (0; 0; 3); R= IA = √14

⇒ Đường kính của mặt cầu là 2√14

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác