60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 3)



60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 3)

Bài 41: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0), B(-3;4;2) và I là điểm thuộc trục Ox. Phương trình mặt cầu tâm I qua A, B có phương trình là:

   A. (x - 3)2 + y2 + z2 = 20

   B. (x + 3)2 + y2 + z2 = 20

   C. (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 11/4

   D. (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 20

Đáp án : B

Giải thích :

I thuộc trục Ox nên I (a; 0; 0)

Mặt cầu đi qua A, B nên IA = IB = R

⇒ IA2=IB2

⇔ (a-1)2 +22 =(a+3)2 +42 +22

⇔ a= -3

⇒ I(-3;0;0); R= IA= √20

Phương trình mặt cầu là:

(x+3)2 +y2 +z2 =20

Bài 42: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(-3;1;2) điểm B(1;-1;0) phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm là:

   A. (-2;0;2)   B. (-1;0;1)

   C. (1;0;1)   D. (1;0;-1)

Đáp án : B

Giải thích :

AB là đường kính mặt cầu nên trung điểm I của AB là tâm của mặt cầu

⇒ I(-1;0;1)

Bài 43: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(5;1;0) và điểm I(1;2;3) mặt cầu tâm I đi qua A có phương trình là.

   A. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 26

   B. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = √26

   C. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 26

   D. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = √26

Đáp án : C

Giải thích :

Do mặt cầu đi qua A nên IA = R

IA= √(42 +12 +32)=26

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2=26

Bài 44: Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;-3) tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0 có pt là :

   A. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 4

   B. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 4

   C. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 16

   D. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 2

Đáp án : B

Giải thích :

Khoảng cách từ tâm I(1; 2; -3) đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=2

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z+3)2 =4

Bài 45: Trong không gian Oxyz, mp (P): √(3)x – y + 6 = 0 cắt mc (S) tâm O theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 4. PT mặt cầu (S) là :

   A. x2 + y2 + z2 = 25

   B. x2 + y2 + z2 = 5

   C. x2 + y2 + z2 = 1

   D. x2 + y2 + z2 = 7

Đáp án : A

Giải thích :

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) là:

d=d(I;(P))=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=3

Gọi R là bán kính của mặt cầu

⇒ R2 =r2 +d2 =42 +32 =25

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

x2 +y2 +z2 =25

Bài 46: Cho mặt cầu (S); x2 + y2 + z2 – 2x – 2y + 2z – 1 = 0. chọn phát biểu đúng :

   A. (S) có tâm I(-1;-1;1)

   B. (S) có bán kính bằng 4

   C. điểm A(1;1;-3) thuộc (S)

   D. điểm B(-1;-1;-3) thuộc (S)

Đáp án : C

Giải thích :

(S): x2 +y2 +z2 -2x -2y +2z -1 =0

Mặt cầu (S) có tâm (1; 1; -1) ; R = √(a2 +b2 +c2 -d)=2

Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình mặt cầu (S) thì tọa độ điểm A thỏa mãn

Vậy đáp án đúng là C

Bài 47: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh là A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

   A. x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z - 6 = 0

   B. x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z + 6 = 0

   C. x2 + y2 + z2 - 3x + 3y - 3z + 6 = 0

   D. x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z + 12 = 0

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có IA = IB = IC = ID = R.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ R=IA= √3/2

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

(x-3/2)2 +(y-3/2)2 +(z-3/2)2 =3/4

⇔ x2 +y2 +z2 -3x -3y -3z +6 =0

Bài 48: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 10 = 0 và điểm I(2;1;3). Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P)theo một đường tròn (C)có bán kính bằng 4 là

   A. (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 25

   B. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 3)2 = 7

   C. (x + 2)2 + (y - 1)2 + ( z - 3)2 = 9

   D. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 3)2 = 25

Đáp án : D

Giải thích :

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

d=d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=3

Gọi R là bán kính mặt cầu

Ta có: R2 =d2 +r2 =32 +42 =25

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-2)2 +(y-1)2 +(z-3)2 =25

Bài 49: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánt1 ∈ R vàToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánt2 ∈ R. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I∈(Δ1) và I cách (Δ2) một khoảng bằng 3. Cho biết mặt phẳng (α): 2x + 2y – 7z = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính r = 5 .

   A. (S1): x2 +y2 +z2 =25

   (S2 ): (x-5)2 +(y+5)2 +z2 =25

   B. (S1 ): x2 +y2 +z2 =16

   (S2): (x+5)2 +(y-5)2 +z2 =16

   C. (S1 ): (x-1)2 +(y+1)2 +z2 =25;

   (S2 ): (x-5)2 +(y+5)2 +z2 =25

   D. (S1 ): (x-1)2 +(y+1)2 +z2 =16;

   (S2 ): (x-5)2 +(y+5)2 +z2 =16

Đáp án : A

Giải thích :

Tâm I thuộc Δ1 nên I (t; -t; 0)

Điểm M (5; -2; 0) thuộc Δ2 và một vecto chỉ phương là u=(-2;0;1)

IM=(5-t; -2+t; 0)

⇒ [IM ; u ]=(t-2; t-5; 2t-4)

Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ2 là:

d(I; Δ2 )Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=3 ⇔ 6t2 -30t +45 =45

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Điểm I1 (0;0;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

x2 +y2 +z2 =25

+ Điểm I2 (5; -5;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

(x-5)2 +(y+5)2 +z2 =25

Bài 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà (P): 2x – y – 2z – 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (Δ); I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt mặt cầu (S) một đường tròn giao tuyến (C) có bán kính bằng 3.

   A. (S1 ): x2 +(y-1)2 +(z+2)2 =13

   (S2 ): (x+2)2 +(y-5)2 +z2 =13

   B. (S1 ): x2 +(y+1)2 +(z-2)2 =13

   (S2 ): (x-2)2 +(y+5)2 +z2 =13

   C. (S1 ): (x-1)2 +(y-3)2 +(z-2)2 =13

   (S2): (x+3)2 +(y-5)2 +(z-3)2 =13

   D. (S1 ): (x-1)2 +(y-3)2 +(z-2)2 =13

   (S2 ): (x+3)2 +(y-5)2 +(z-3)2 =13

Đáp án : B

Giải thích :

Phương trình tham số của đường thẳngToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do I thuộc đường thẳng Δ nên I(-t; -1+2t;2+t)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=|2t+2|

Theo đề bài: d(I;(P))=2

⇒ |2t+2|=2 ⇔ |t+1|=1 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t = 0, ta có I (0; -1; 2)

Với t = -2, ta có I (2; -5; 0)

Gọi R là bán kính của mặt cầu

⇒ R2 =r2 +d2 =32 +22 =13

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(S1 ): x2 +(y+1)2 +(z-2)2 =13

(S2 ): (x-2)2 +(y+5)2 +z2 =13

Bài 51: Phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy là :

   A. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 21 = 0

   B. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 21 = 0

   C. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 21 = 0

   D. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 21 = 0

Đáp án :

Giải thích :A

Bài 51: Chọn A

Do tâm I của mặt cầu thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy nên I (a; b; 0)

Lại có mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C nên IA = IB = IC = R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy I (-2 ; 1 ; 0), R=IA= √26

Phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x+2)2 +(y-1)2 +z2 =26

⇔ x2 +y2 +z2 + 4x -2y -21 =0

Bài 52: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) có tâm I(3;-2;0) và (S) cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8:

   A. (x - 3)2 +(y + 2)2 +z2 = 9

   B. (x - 3)2 +(y + 2)2 +z2 = 64

   C. (x + 3)2 +(y - 2)2 +z2 = 25

   D. (x - 3)2 +(y + 2)2 +z2 = 25

Đáp án : D

Giải thích :

Khoảng cách từ I đến trục Oy là : d= √(32 +0)=3

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R2 =d2 +(AB/2)2 =32 +42 =25

Phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x-3)2 +(y+2)2 +z2 =25

Bài 53: Biết mặt cầu (S) có tâm tâm I(-1; -4; 3) và (S) cắt mặt phẳng tọa độ Oxz theo một đường tròn có diện tích bằng 9π. Khi đó phương trình của (S) là:

   A. (x - 1)2 + (y - 4)2 + (z + 3)2 = 16

   B. (x + 1)2 + (y + 4)2 + (z - 3)2 = 9

   C. (x - 1)2 + (y - 4)2 + (z + 3)2 = 25

   D. (x + 1)2 + (y + 4)2 + (z - 3)2 = 25

Đáp án : C

Giải thích :

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxz) là d = 4

Mặt phẳng (Oxz) cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích bằng 9π

⇒ S=πr2 =9π ⇒ r=3

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R2 =r2 +d2 =32 +42 =25

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x+1)2 +(y+4)2 +(z-3)2 =25

Bài 54: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(-2; 0; 1) và (S) đi qua điểm A(2;2;1)

   A. (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 20

   B. (x + 2)2 +y2 + (z - 1)2 = 20

   C. (x + 2)2 + (y - 5)2 + (z - 1)2 = 25

   D. (x + 2)2 + (y - 5)2 + (z - 1)2 = 20

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm của mặt cầu.

IM=(-2-a; -b; 1-c)

Mặt phẳng (Oxz) có vecto pháp tuyến n=(0 ;1 ;0)

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) tại M nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giải (1) :

IM=k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu đi qua A(2; 2;1) nên IA = R

Ta có : IA2 =42 +(k+2)2 =k2 +4k+20

Từ (2) ⇒ IA2 =R2 =k2 ⇒ k2 +4k +20 =k2

⇒ k= -5

Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là :

⇒ (x+2)2 +(y-5)2 + (z-1)2 =25

Bài 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳngToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà mặt phẳng (P): x+2y + z + 9 = 0. Phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) có tâm thuộc đường thẳng d và có bán kính R = √(3/2) là:

   A. (x-5)2 +(y+10)2 +(z-3)2= 3/2

   B. x2 + ( y - 1)2 + ( z + 1)2 = 4

   C. x2 + ( y + 1)2 + ( z - 1)2 = 9

   D. (x+5)2 + (y-10)2 + (z+3)2 = 3/2

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình tham số của đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do tâm I thuộc đường thẳng d nên I(2+t; -1-3t; -3+2t)

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d(I;(P))=R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ |-t+2|=1 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t = 1 thì I (3; -4; -1)

Với t = 3 thì I (5; -10; 3)

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là:

(x-3)2 +(y+4)2 +(z+1)2 =3/2

(x-5)2 +(y+10)2 +(z-3)2 =3/2

Bài 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6). Tìm phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đi qua A ?

   A. (x - 5)2 + (y - 3)2 + (z - 6)2 = 61

   B. (x - 5)2 + (y + 3)2 + (z - 6)2 = 61

   C. (x + 5)2 + (y - 3)2 + (z - 6)2 = 61

   D. (x - 5)2 + (y - 3)2 + (z + 6)2 = 61

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

IB=(-a;3-b; -c); IC=(-a; -b; 6-c)

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ I(a;3;6)

I đi qua A nên ta có IA = IB

⇔ IA2 =IB2 ⇔ (a-1)2 +32 +62 =a2 +62

⇔ a=5

Khi đó, I (5; 3; 6) và R2 =IA2 =61

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x-5)2 +(y-3)2 +(z-6)2 =61

Bài 57: Cho điểm A(1;2;4) và mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có tâm A, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π là:

   A. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 76/3

   B. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 9

   C. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 9

   D. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 76/3

Đáp án : D

Giải thích :

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi r là bán kính của đường tròn thiết diện

Ta có: Chu vi của đường tròn là 2πr=4π ⇒ r=2

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:

R2 =r2 +d2 =76/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-4)2 =76/3

Bài 58: Trong mặt phẳng Oxyz, Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà 2 mp (P): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình

   A. (x + 3)2 +(y + 1)2 +(z - 3)2 = 4/9

   B. (x - 3)2 +(y - 1)2 +(z + 3)2 = 4/9

   C. (x + 3)2 +(y + 1)2 +(z + 3)2 = 4/9

   D. (x - 3)2 +(y + 1)2 +(z + 3)2 = 4/9

Đáp án : D

Giải thích :

Do I thuộc đường thẳng d nên I(t; -1; -t)

Ta có:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

d(I;(Q))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng nên d(I;(P))= d(I;(Q)) =R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án⇔ t=3

Với t = 3 thì I(3; -1; -3); R= 2/3

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-3)2 +(y+1)2 +(z+3)2 =4/9

Bài 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; -4), B(2;3;4), C(3;5;7). Tìm phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với BC ?

   A. (x+1)2 +(y-2)2 +(z-4)2 =5/2

   B. (x-1)2 +(y+2)2 +(z+4)2 =5/2

   C. (x+1)2 +(y-2)2 +(z-4)2 =25/4

   D. (x-1)2 +(y+2)2 +(z+4)2 =25/4

Đáp án : B

Giải thích :

Đường thẳng BC đi qua B (2; 3; 4) và có vecto chỉ phương BC=(1;2;3)

AB=(1;5;8); BC=(1;2;3)

⇒ [AB , BC ]=(-1;5;-3)

Khoảng cách từ A đến BC là:

d(A;BC)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y+2)2 +(z+4)2 =5/2

Bài 60: Cho ba điểm A (6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

   A. (x+2)2 +(y-1)2 +(z-3)2 =17

   B. (x-2)2 +(y-1)2 +(z-3)2 =17

   C. (x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2 =17

   D. (x+2)2 +(y+1)2 +(z+3)2 =17

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi I (x; y; z) là tâm của mặt cầu

Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có IA = IB = IC = ID

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó: R2 =IA2 =17

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2 =17

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác