Bài tập viết phương trình mặt cầu - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài tập viết phương trình mặt cầu

Bài 1: Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà điểm A(5;4; - 2). Phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) là:

   A. ( S): (x + 1)2 + (y + 1)2 + z2= 65.

   B. ( S): ( x + 1)2 + ( y - 1)2 + z2= 9.

   C. ( S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 64.

   D. ( S): (x + 1)2 + ( y - 1)2 + (z + 2)2= 65.

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình tham số của đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là tâm của mặt cầu. Do I thuộc d nên I(t;1+2t; -1-t)

Mặt khác do I thuộc mặt phẳng Oxy nên -1-t=0 ⇔ t= -1

Khi đó I (-1; -1; 0)

Mặt cầu đi qua điểm A nên R2 =IA2 =(5+1)2+ (4+1)2 +(-2+0)2=65

Vậy pt mặt cầu cần tìm là: (x+1)2 +(y+1)2 +z2 =65

Bài 2: Cho bốn điểm A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0). Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

   A. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z - 3 = 0.

   B. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z - 3 = 0.

   C. x2 + y2 + z2 - 2x + y - 3z - 3 = 0.

   D. x2 + y2 + z2 + 2x - y + 3z - 3 = 0.

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên IA = IB = IC = ID

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bán kính R = IA = √17

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2 =17

⇔ x2 +y2 +z2 -4x +2y -6z -3 =0

Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) là:

   A. x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 1 = 0.

   B. x2 + y2 + z2 - x - 2y + 1 = 0.

   C. x2 + y2 + z2 - 2x - 2z + 1 = 0.

   D. x2 + y2 + z2 - x + 2z + 1 = 0.

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

Do mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C nên ta có IA = IB = IC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt khác do I thuộc mặt phẳng (P) nên a + b + c – 2 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta cóToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bán kính mặt cầu: R=IA=1

Vậy pt mặt cầu là

(x-1)2 +y2 +(z-1)2 =1

⇔ x2 +y2 +z2 -2x -2z +1 =0

Bài 4: Phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) và tiếp xúc với trục Oy là:

   A. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10.

   B. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 16.

   C. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 8.

   D. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9.

Đáp án : A

Giải thích :

Chú ý:

Khoảng cách từ điểm I (a; b; c ) đến trục Ox là d= √(b2 +c2 )

Khoảng cách từ điểm I (a; b; c ) đến trục Oy là d= √(a2 +c2 )

Khoảng cách từ điểm I (a; b; c ) đến trục Oz là d= √(a2 +b2 )

Khoảng cách từ I (1; -2; 3) đến Oy là: d= √(12 +32) = √10

Mặt cầu tiếp xúc với Oy nên R = d= √10

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y+2)2 +(z-3)2 =10

Bài 5: Cho các điểm A(-2;4;1), B(2;0;3) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Gọi (S) là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. Bán kính mặt cầu (S) bằng:

   A. 2√3   B. √6

   C. 3   D. 3√3

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc d nên I(1+t;1+2t; -2+t)

Do mặt cầu đi qua A, B nên IA = IB

⇔ IA2 =IB2

⇔ (t+3)2 +(2t-3)2 +(t-3)2 =(t-1)2 +(2t+1)2 +(t-5)2

⇔ t=0

Khi đó I (1; 1; -2)

Bán kính mặt cầu R=IA= 3√3

Bài 6: Cho điểm A(1;-2;3) và đường thẳng d có phương trình Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánPhương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:

   A. (x-1)2 + (y + 2)2 + (z-3)2 = √50.

   B. (x-1)2 + (y + 2)2 + (z-3)2 = 5.

   C. ( x-1)2 + (y + 2)2 + (z-3)2 = 50.

   D. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 50.

Đáp án : C

Giải thích :

Đường thẳng d đi qua điểm M (-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương

u=(2;1;-1)

AM=(-2;4; -6); [AM ; u ]=(2; -14; -10)

Do mặt cầu tiếp xúc với d nên khoảng cách từ A đến đường thẳng d bằng bán kính R của mặt cầu

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y+2)2 +(z-3)2 =50

Bài 7: Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 2 = 0 Phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1;-1;1) là:

   A. (x - 1)2 + (y + 1)2 + z2 = 1.

   B. (x - 4)2 + y2 + (z - 1)2 = 1.

   C. (x + 2)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 1.

   D. (x - 3)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1.

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình tham số của đường thẳng d là: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc đường thẳng d nên I(1+3t; -1+t;t)

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

IA2 =(1+3t-1)2 +(-1+t+1)2 +(t-1)2=11t2 -2t +1

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) và đi qua A nên d(I;(P))=IA

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ (5t+3)2 =11t2 -2t +1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t = 0, ta có I (1; -1; 0), R = IA = 1

Với t=24/37, ta có I(109/37; (-13)/37; 24/37); R =IA =5929/1369

Theo bài ra, cần viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất nên viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -1; 0), R = 1

(x-1)2 +(y+1)2 +z2 =1

Bài 8: Phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) là:

   A. x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 6z - 10 = 0.

   B. x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 10 = 0.

   C. x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + 10 = 0.

   D. x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 6z - 10 = 0.

Đáp án : B

Giải thích :

Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: y = 0

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (Oxz) là: d = 2

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2 =4

⇔ x2 +y2 +z2 -2x -4y -6z +10=0

Bài 9: Cho 4 điềm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

   A. (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = √14.

   B. (x + 3)2 + (y - 2)2 + (z - 2)2 = 14.

   C. (x + 3)2 + (y - 2)2 + (z - 2)2 = √14.

   D. (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 14.

Đáp án : D

Giải thích :

BC=(-3;0;1); BD=(-4; -1;2)

⇒ [BC , BD ]=(1;2;3)

⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: n =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (BCD) có VPPT n=(1;2;3) và đi qua điểm B(3; 2; 0) là: x -3 +2(y-2) +3z =0

⇔ x +2y +3z -7 =0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là:

d(A;(BCD))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= √14

Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCD) là:

(x-3)2 +(y+2)2 +(z+2)2=14

Bài 10: Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 2 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz, bán kính bằng 2/(√14) và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:

   A. x2 + y2 + (z - 3)2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z - 4)2 = 2/7.

   B. x2 + y2 + (z - 1)2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z + 2)2 = 2/7.

   C. x2 + y2 + z2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z - 4)2 = 2/7.

   D. x2 + y2 + z2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z - 1)2 = 2/7.

Đáp án : C

Giải thích :

Tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; c)

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính mặt cầu

⇒ R=2/√(14)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ |c-2|=2Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy I (0; 0; 0) hoặc I (0; 0; 4)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

x2 +y2 +z2 =2/7

x2 +y2 +(z-4)2 =2/7

Bài 11: Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà điểm I(4;1;6). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tâm I tại hai điểm A, B sao cho AB=6. Phương trình của mặt cầu (S) là:

   A. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 18.

   B. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 12.

   C. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 16.

   D. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 9.

Đáp án : A

Giải thích :

Đường thẳng d đi qua điểm M (-5; 7; 0) và có vecto chỉ phương u =(2; -2;1)

IM =(-9;6; -6) ⇒ [ IM ; u ]=(-6; -3;6)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi R là bán kính của mặt cầu

⇒ R2 =d2 +(AB2)/4=18

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x-4)2 +(y-1)2 +(z-6)2 =18

Bài 12: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình (P): x - 2y + z - 1 = 0 và (Q): 2x + y - z + 3 = 0. Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ XM=1, có phương trình là:

   A. (x + 19)2 + (y + 15)2 + (z - 10)2 = 600.

   B. (x - 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 600.

   C. (x - 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 100.

   D. (x + 21)2 + (y + 5)2 + (z - 10)2 = 600.

Đáp án : B

Giải thích :

Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM =1 nên M (1; y0; 0)

Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0= -5

⇒ M (1; -5;0)

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

IM=(1-a; -5-b; -c)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n=(2;1;-1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM vuông góc với mặt phẳng (Q)

IM=k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)

⇒ a -2b +c -1 =0

⇔ 1 -2k +2(5+k) +k -1 =0

⇔ k =-10

Với k =-10 thì I (21; 5; -10)

Bán kính của mặt cầu là:

R =|IM |=|k n |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-21)2 +(y-5)2 +(z+10)2 =600

Bài 13: Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng AB/6 có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

   A. (x + 4)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 1/3 hoặc (x + 6)2 + (y - 5)2 + (z + 4)2 = 1/3.

   B. (x - 4)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 1/3 hoặc (x - 6)2 + (y + 5)2 + (z - 4)2 = 1/3.

   C. (x + 4)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 1/3.

   D. (x - 4)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 1/3.

Đáp án : C

Giải thích :

AB=(-2;2;-2) ⇒ AB=|AB |= 2√3

Gọi R là bán kính của mặt cầu (S). Theo giả thiết ta có:

R =AB/6 = √3/3

Đường thẳng AB đi qua A (1; -2; 3) và có một vecto chỉ phương

AB=(-2;2;-2) có phương trình là: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tâm I thuộc đường thẳng AB nên I(1-2t; -2+2t; 3-2t)

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

d(I; (P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên d(I;(P)) =R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ |-2t+6|=1Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=5/2 thì I ( -4; 3; -2)

Với t=7/2 thì I ( -6; 5; -4)

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là :

(x+4)2 +(y-3)2 +(z+2)2 =1/3

(x+6)2 +(y-5)2 +(z+4)2=1/3

Bài 14: Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà hai mặt phẳng (P1): x, + 2y + 2z - 2 = 0; (P2): 2x + y + 2z - 1 = 0. Mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình:

   A. (S): (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9.

   B. (S): (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9 hoặc

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   C. (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 9.

   D. (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 9 hoặc

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Do I nằm trên d nên I (1 + 2t; 2 + t; 3 + 2t)

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

d(I;(Q))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ |8t+9| =|9t+9|

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=0 thì I(1;2;3); R=3

Với t= -18/17 thì I(-19/17; 16/17; 15/17); R= 3/17

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2 =9

(x+19/17)2 +(y-16/17)2 +(z-15/17)2 =9/289

Bài 15: Cho điểm A(1;3;2), đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 6 = 0. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) là:

   A. (S): (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 16 hoặc

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   B. (S): (x + 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 16 hoặc

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   C. (S): (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 16.

   D. (S): (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 4.

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình đường thẳngToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc d nên I (-1+2t; 4 – t; -2t)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

IAToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) nên d(I; (P)) =IA =R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ 65t2 +110t -175 =0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-3)2 +(z+2)2 =16

(x +83/13)2 +(y -87/13)2 +(z -70/13)2 =13456/169

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác