Bất đẳng thức Cô-si lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Bất đẳng thức Cô-si lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bất đẳng thức Cô-si.

Bất đẳng thức Cô-si lớp 9 (chi tiết nhất)

1. Bất đẳng thức Côsi

Bất đẳng thức Cô - si với 2 số thực không âm: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Bất đẳng thức Cô - si với n số thực x₁; x_2; …; x_n không âm:

$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ = … = x_n.

2. Ví dụ minh họa về bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 1.

a) Với x > 0, chứng minh rằng 2x + $\frac{8}{x}\ge 8$.

b) Với x > 0, chứng minh rằng 1 – 7x – $\frac{7}{x}$ ≤ –13.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương 2x, $\frac{8}{x}$ ta có:

$2x+\frac{8}{x}\ge 2\sqrt{2x.\frac{8}{x}}=8$.

Dấu “=” xảy ra khi 2x = $\frac{8}{x}$ hay x = 2 (do x > 0).

Vậy với x > 0 thì $2x+\frac{8}{x}\ge 8$.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương 7x và $\frac{7}{x}$ ta có:

$7x+\frac{7}{x}\ge 2\sqrt{7x.\frac{7}{x}}=14$.

Do đó, 1 – 7x – $\frac{7}{x}$ ≤ 1 – 14 = –13.

Dấu “=” xảy ra khi 7x = $\frac{7}{x}$ hay x = 1 (do x > 0).

Vậy với x > 0 thì 1 – 7x – $\frac{7}{x}$ ≤ –13.

Ví dụ 2. Cho a ≥ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + $\frac{1}{a}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: P = a + $\frac{1}{a}=\frac{1}{a}+\frac{a}{25}+\frac{24a}{25}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương $\frac{1}{a}, \frac{a}{16}$ ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{a}{25}\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{25}}=2.\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$.

Do đó, P = $\frac{1}{a}+\frac{a}{25}+\frac{24a}{25}\ge \frac{2}{5}+\frac{24.5}{25}=\frac{26}{5}.$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{a}=\frac{a}{25}$ nên a² = 25 suy ra a = 5 (do a ≥ 4).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $\frac{26}{5}$ khi a = 5.

Ví dụ 3. Với x ≥ 0, chứng minh rằng P = $\frac{2x+6}{\sqrt{x}+1}\ge 4$.

Hướng dẫn giải

Ta có: P = $\frac{2x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2+8}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-2+\frac{8}{\sqrt{x}+1}=2(\sqrt{x}+1)+\frac{8}{\sqrt{x}-1}-4$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương $2(\sqrt{x}+1)$ và $\frac{8}{\sqrt{x}+1}$ ta có:

$2(\sqrt{x}+1)+\frac{8}{\sqrt{x}+1}\ge 2\sqrt{2(\sqrt{x}+1).\frac{8}{\sqrt{x}+1}}=2.4=8$.

Do đó, P ≥ 8 – 4 = 4.

Dấu “=” xảy ra khi $2(\sqrt{x}+1)=\frac{8}{\sqrt{x}+1}$ hay x = 1 (thỏa mãn).

Vậy với x ≥ 0 thì P = $\frac{2x+6}{\sqrt{x}+1}\ge 4$.

3. Bài tập về bất đẳng thức Côsi

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a) $\frac{4}{x}$+ 2x với x > 0.

b) $\frac{3}{x-2}$ + x với x > 2.

c) $\frac{x^2}{x+1}$ với x > –1.

Bài 2. Với a ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a² + $\frac{1}{a}$.

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) 2 - x - $\frac{25}{4x}\le -3$ với x > 0.

b) $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}+2\ge 6$ với x > 4.

c) $\frac{x+3}{\sqrt{x}+1}\ge 2$ với x > 0.

Bài 4. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn $\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{y}$.   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = $\sqrt{x}+\sqrt{y}$.

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a) $A=\frac{(x+4)(x+6)}{x}$ với x > 0.

b) $B=\frac{{(x+12)}^2}{x}-1$ với x > 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán sách mới hay, chi tiết khác:

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

• Đạo hàm hàm phân thức lớp 11

• Đường chéo hình chữ nhật lớp 8

• Tính chất của tứ diện đều lớp 11

• Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 8

---