Bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9 (chi tiết nhất)

1. Bất đẳng thức bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)².

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}.$

Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:

Với hai bộ số (a₁, a₂, …, a_n) và (b₁, b₂, …, b_n), ta có:

$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\ge$(a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n)².

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}.$

Hệ quả bất đẳng thức Bunhiacopxki: (a² + b²)(c² + d²) ≥ 4abcd.

2. Ví dụ minh họa về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = $\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(1.$\sqrt{x-4}+1.\sqrt{6-x}{)}^2\le (1^2+1^2)(x-4+6-x)=4$.

Do đó, A ≤ 2.

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{\sqrt{x-4}}=\frac{1}{\sqrt{6-x}}$nên x – 4 = 6 – x hay x = 5 (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2 khi x = 5.

Ví dụ 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x² + y² = $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$.

Chứng minh rằng 5x + 12y ≤ 13.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

${(x^2+y^2)}^2=x{(\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})}^2\le (x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)$

Do đó, x² + y² ≤ 1.

Ta có: (5x + 12y)² ≤ (5² + 12²)( x² + y²) ≤ 169. Do đó, 5x + 12y ≤ 13.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ \frac{x}{5}=\frac{y}{12}\\ 0\le x\le 1; 0\le y\le 1\end{array}\right.$nên $x=\frac{5}{13}; y=\frac{12}{13}.$

Vậy 5x + 12y ≤ 13.

Ví dụ 3. Cho xy + xz + yz = 6. Chứng minh rằng x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ 12.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(xy + xz + yz)² ≤ (x² + y² + z²)(x² + y² + z²)

Do đó, 36 ≤ (x² + y² + z²)² ≤ (x⁴ + y⁴ + z⁴)(1² + 1² + 1²).

Suy ra x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ 12.

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x^4}{1}=\frac{y^4}{1}=\frac{z^4}{1}$ và xy + xz + yz = 6. Do đó, x = y = z = $\pm \sqrt{2}$.

Vậy x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ 12.

3. Bài tập về bất đẳng thức bunhiacopxki

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của:

a) $\sqrt{2x-3}+\sqrt{9-2x}.$

b) $\sqrt{2x-y}+\sqrt{3-2x+y}.$

Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$.

Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2a + 3b + 4c = 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a² + b² + c².

Bài 4. Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 6.

Chứng minh rằng $\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le 6$.

Bài 5. Cho a, b, c là các số thực và a + b + c = $\frac{1}{2}$.

Chứng minh rằng a² + b² + c² $\ge \frac{1}{12}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán sách mới hay, chi tiết khác:

• Bất đẳng thức Cô-si lớp 9

• Đạo hàm hàm phân thức lớp 11

• Đường chéo hình chữ nhật lớp 8

• Tính chất của tứ diện đều lớp 11

• Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 8

---